WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een vraag over totale afgeleide

Geachte,

Zij x een functie van u en v, notatie x(u,v). Er geldt dat de variabele u en v zelf geen functies zijn. Gevraagd wordt om de totale afgeleide te geven van x.

In ons cursusboek staat:

dx = ^{partieel x}/_{partieel u} · du + ^{partieel x}/_{partieel v}· dv.

Mijn vraag is hoe wij precies komen op deze formule, met name dus waarom wij nog keer du en keer dv doen, ik zie het jammer genoeg echt niet. Heeft het te maken met de limiet definitie of iets dergelijks? Uitleg is gewenst.
Klaas-
Student universiteit - dinsdag 17 december 2019

Antwoord

Wat in je vraag staat
$$\frac{\partial x}{\partial u}\mathrm{d}u + \frac{\partial x}{\partial v}\mathrm{d}v
$$heet wel de totale differentiaal van de functie $x$, ten opzichte van $u$ en $v$, en hij inderdaad wordt ook als $\mathrm{d}x$ genoteerd. De interpretatie c.q. uitleg verschilt nogal van boek tot boek en persoon tot persoon maar het komt meestal neer op de infinitesimale verandering van $x$ als $u$ en $v$ infinitesimaal veranderen (en infinitesimaal betekent dan `oneindig klein').

De totale afgeleide is de (rij)vector $(\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial x}{\partial v})$ met de twee partiële afgeleiden er in en die wordt gebruikt om de vergelijking van het raakvlak aan een punt $(a,b,c)$ op de grafiek van de functie op te stellen:
$$x = c + \frac{\partial x}{\partial u}(a,b)\cdot(u-a) + \frac{\partial x}{\partial v}(a,b)\cdot(v-b)
$$Hieraan kun je zien dat de totale differentiaal de echte verandering van $x$ benadert met de verandering in de lineaire functie die het raakvlak beschrijft.
Zie Wikipedia: Differentieerbaarheid

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 18 december 2019

Re: Een vraag over totale afgeleide