De som (x_1-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2 noemen we even w. Als we nu aannemen dat x_1 het kleinste getal is uit \{x_1,x_2,\ldots,x_n\} (dus x_1=s) dan vinden we
\frac{w}{(m-s)^2}=\frac{(x_1-m)^2+(x_2-m)^2+\cdots+(x_n-m)^2}{(x_1-m)^2} > 1
(aangenomen dat niet alle getallen gelijk zijn, anders staat er namelijk \frac00).
Deze ongelijkheid is scherp: stel x_1=s en x_2=\cdots=x_n=a > s; dan geldt m=\frac1ns+\frac{n-1}na. Dan volgt a-m=\frac1n(a-s) en m-s=\frac{n-1}n(a-s).
Dan is w gelijk aan (m-s)^2+(n-1)(a-m)^2 en dat is gelijk aan
\frac{(n-1)^2}{n^2}(a-s)^2 + \frac{n-1}{n^2}(a-s)^2
Dan volgt, na wat wegstrepen,
\frac{w}{(m-s)^2}=1+\frac1{n-1}
Dus 1 kan niet verbeterd.
Als we nu v=\frac1{n-1}w nemen dan vinden we
\frac{v}{(m-s)^2} > \frac1{n-1}
waarbij er n-tallen zijn waarvoor dit willekeurig dicht bij \frac1{n-1} komt. Voor de logaritme geeft dat
\ln v-2\ln(m-s) > -\ln(n-1)
Als n groot genoeg is zijn er dus n-tallen waarvoor \ln v-2\ln(m-s)+\mathrm{e} negatief is.
Wat de tweede ongelijkheid betreft: door omgekeerd x_1=\cdots =x_{n-1}=s te nemen en x_n=a, met s < a volgt
\frac{(m-s)^2}{w} = \frac{1}{1+(n-1)^3}
en dus
\frac{(m-s)^2}{v} = \frac{n-1}{1+(n-1)^3}
beide kunnen we willekeurig dicht bij 0 krijgen en ook daar vinden we dus n-tallen waar de uitdrukking negatief kan zijn.
Dit is een reactie op vraag 87196 
0
