WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Meetkundige plaats hoekpunt rechte hoek winkelhaak

Dit is een reactie op vraag 87072

Ik mis wat achtergrond op gebied van vectormeetkunde en daarom slaag ik er niet in om dit volledig te begrijpen. Ik neem aan dat hoek(ABO)=alpha en hoek(OAB) = 90°-alpha. De rotatiematrix hierboven ken ik op zichzelf, maar bij mijn weten slaat die matrix op een rotatie rond de oorsprong O en niet rond het punt B of vergis ik mij?

De vector(BC) haal ik zelf uit de structuur
vector(OB) + vector(BC) = vector(OC)

Het lukt mij langs geen kanten dat je hieruit kan halen dat vector(BC) gelijk is aan die 2e matrix (2*1-matrix) die hierboven staat vermeld.

De voorlaatste regel, die overeenkomt met het 1ste element in die , 2-1-matrix hierboven betekent dan dat alle C's op het lijnstuk C1C2 liggen gaande door de oorsprong, is voor mij compleet onduidelijk, precies omdat ik in deze manier van werken onvoldoende kennis heb.

VRAAG: Wilt u mij wat meer detaillering bezorgen om dit antwoord te kunnen begrijpen? Bij voorbaat bedankt!
Jan He
Docent - maandag 12 november 2018

Antwoord

De bedoeling was $\alpha=\angle ABC$ (de hoek bij $B$ in de driehoek).
De vector $\overrightarrow{BA}$ heeft coördinaten
$$
\binom{a}{-b}
$$als we deze over $\alpha$ draaien komt er
$$
\left(\begin{array}{cr}\cos\alpha&-\sin\alpha\\\sin\alpha&\cos\alpha\end{array}\right)\binom{a}{-b}=\binom{a\cos\alpha+b\sin\alpha}{a\sin\alpha-b\cos\alpha}
$$deze vector wijst in dezelfde richting als $\overrightarrow{BC}$ maar heeft lengte $\sqrt{a^2+b^2}$ terwijl $\overrightarrow{BC}$ lengte $\sqrt{a^2+b^2}\cos\alpha$ heeft. We vermenigvuldigen de verkregen vector dus met $\cos\alpha$ om $\overrightarrow{BC}$ te verkrijgen en dat geeft het resultaat in het eerste antwoord.
Door naar $\overrightarrow{BA}$ en $\overrightarrow{BC}$ te kijken hebben we de oorsprong even in $B$ geplaatst en de draaiing rond $B$ uitgevoerd.

De plaatsvector van $C$ is gelijk aan
$$
\binom0b+\overrightarrow{BC}
$$en dat geeft het resultaat uit het eerste antwoord.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 13 november 2018