WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren

Dit is een reactie op vraag 86353

ik kom als eigenvector van eigenwaarde 1 uit ( ³/₁₀a, ^-9/₅a, a)

wat dus niet (1,1,²/₃ wordt als je het invult, ook heb ik voor de techniek die ik heb gezien om de limieten te vinden 3 eigenwaarden en 3 bijhorende eigenvectoren nodig, dus ik heb nog steeds niet echt een idee hoe de limieten van x_n, y_n en z[subn voor deze matrix uit te rekenen. Alvast bedankt voor de hulp!
Lotte
Student universiteit België - maandag 4 juni 2018

Antwoord

Ten eerste: je kunt je antwoord, en het mijne, controleren door in te vullen.
Reken
$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac12 & \frac13 &\frac14\\
\frac13 & \frac13 & \frac12 \\
\frac16 & \frac13 & \frac14 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} \frac3{10}a \\ -\frac95a \\ a \end{array}\right)
$$en
$$
\left(\begin{array}{ccc}
\frac12 & \frac13 &\frac14\\
\frac13 & \frac13 & \frac12 \\
\frac16 & \frac13 & \frac14 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{c} 1\\ 1 \\ \frac23 \end{array}\right)
$$maar eens uit. De vector $v$ die voldoet aan $Av=v$ is de juiste.

Ten tweede: je hebt de andere eigenwaarden en eigenvectoren niet echt nodig, dat zegt de theorie: schrijf je vector $v_0$ als lineaire combinatie van de drie eigenvectoren: $v_0=aw_1+bw_2+cw_3$; dan geldt $v_n=aw_1+b\lambda_2^nw2+c\lambda_3^nw_3$. Omdat $|\lambda_2|$ en $|\lambda_3|$ beide kleiner zijn dan $1$ volgt dat $\lim_n v_n=aw_1$.

Ten slotte: de som van de coördinaten van $v_0$ is gelijk aan $80$ en dat geldt voor elke $n$, en dus ook voor de limiet. Je limiet is dus de eigenvector bij eigenwaarde $1$ waarvan de som van de coördinaten gelijk is aan $80$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 4 juni 2018