De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat

vragen bekijken

een vraag stellen

hulpjes

zoeken

FAQ

links

twitter

boeken

help

inloggen

colofon

Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

Ik probeer de volgende stelling te bewijzen (in eerste instantie via formulemanipulatie):

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right)
$

Ik weet dat ik n boven k kan extraheren omdat:

$
\eqalign{\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k} \right)!}}}
$

Maar daarna loop ik vast. Kan iemand mij hierbij helpen?
Alvast hartelijk dank.

John B
Student universiteit - vrijdag 1 juni 2018

Antwoord

Dat gaat zo:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
k \\
\end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 1} \\
\end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c}
n \\
{k - 2} \\
\end{array}} \right) =
$
$
\eqalign{\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}} =}
$
$\eqalign{
(n - k + 1)(n - k + 2)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} +...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + 2k\left( {n - k + 2} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} + ...
}$
$\eqalign{
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + k(k - 1)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n - k + 1)(n - k + 2) + 2k\left( {n - k + 2} \right) + k(k - 1)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n + 1)(n + 2)} \right) =
}$
$\eqalign{
\frac{{n! \cdot (n + 1)(n + 2)}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} =
}$
$\eqalign{
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{n + 2} \\
k \\
\end{array}} \right)
}$

Kijk maar 's goed! Reageren mag altijd...

Naschrift
Een goede vraag zou zijn: 'wat is het algemene principe van deze aanpak?'.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..! vrijdag 1 juni 2018

Re: Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3