WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Continue functies: oneindig veel oplossingen

De vraag luidt:

'Veronderstel dat g: \mathbf{R}² \to \mathbf{R} een continue functie is die voldoet aan g(0,0)= -1 en g(x,y)=1 voor alle x,y een element van de \mathbf{R}² met x² + y² =1. Argumenteer dat de vergelijking g(x,y)=0 oneindig veel oplossingen heeft.'

Ik heb dit al:

Stel (x,y) = (sin \Phi, cos \Phi). Dankzij deze substitutie weten we zeker dat voor alle \Phi element van de \mathbf{R} voldaan is aan de tweede vergelijking van het stelsel. Er rest dus ons nog te bewijzen dat g(sin \Phi, cos \Phi) oneindig veel oplossingen heeft. We definiëren de functie h: (0,2\pi) \to \mathbf{R} : \Phi |\to g(sin \Phi, cos \Phi). We weten dat de functie h continu is aangezien ze bestaat uit g die eveneens continu is (want de component functies zijn continu in de gegeven interval).

Ik weet niet hoe ik verder moet en ook hoe moet ik g(0,0)= -1 incorporeren in mijn argumentatie? We moeten denk ik sowieso de tussenwaardestelling gebruiken, maar hoe geraak ik tot hier?

Met vriendelijke groeten
Joy
Student universiteit België - maandag 15 januari 2018

Antwoord

Je functie h is constant: voor elke \phi geldt h(\phi)=1. Dat zal dus niet veel helpen.
Hier is een andere suggestie: neem een vaste \phi en definieer h_\phi:[0,1]\to\mathbb{R} door h_\phi(t)=g(t\cos\phi,t\sin\phi). Dan geldt h_\phi(0)=-1 en h_\phi(1)=1. Nu kun je de tussenwaardestelling toepassen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 15 januari 2018

Re: Continue functies: oneindig veel oplossingen