WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Natuurlijke getallen rond cirkel, steeds 1 som groter dan 17

Dit is een reactie op vraag 84797

Hallo, ik volg uw redenering niet zo goed. Is het voldoende om uw redenering als bewijs te zien? Ik had er aan gedacht om de cijfers van 1 tem 10 op te tellen, dit geeft 55. Als we veronderstellen dat alle 3 de groepjes bij optelling kleiner zijn dan 17. Dan krijgen we $<$ 3·17 en daaruit volgt dat er een getal groter dan 4 moet overblijven. Is het voldoende om te zeggen dat dit tegenstrijdig is?
Jan
Student universiteit België - dinsdag 11 juli 2017

Antwoord

Hallo, Jan.
In de som (x₁+x₂+x₃) + (x₂+x₃+x₄) + (x₃+x₄+x₅) + ... +(x₁₀+x₁+x₂) wordt x₁ drie keer geteld, x₂ drie keer geteld, ..., x₁₀ drie keer geteld.
Dus de som is drie keer 55, dat is 165.
Maar als elk der tien termen (x₁+x₂+x₃),(x₂+x₃+x₄),(x₃+x₄+x₅), ... (x₁₀+x₁+x₂), kleiner dan 17 is, dus hoogstens 16, dan is de som hoogstens tien keer 16, dat is 160.
Dat kan niet, omdat 165 groter is dan 160. Dus moet minstens een van de tien termen groter of gelijk 17 zijn.

PS Men kan zelfs bewijzen dat minstens een van deze tien termen groter of gelijk 18 moet zijn. Het bewijs heeft collega kphart gevonden en op zijn blog gezet.
Zie https://hartkp.weblog.tudelft.nl/2017/07/12/tien-getallen-rond-een-tafel/ .
Het is niet zo dat minstens een van deze termen groter of gelijk 19 moet zijn, want in de cyclus 8 7 3 5 9 4 1 10 6 2 zijn ze alle tien hoogstens 18

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 11 juli 2017