WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Productfunctie

Opgave: productiefunctie Q(x,y)= x^1/2·y^1/2 waarbij x=aantal arbeiders en y= aantal dagen machinetijd. De inzet van 5 arbeiders kost 45 en 1 dag machinetijd kost 1.
Stel een formule op van de totale kosten in functie van het aantal arbeiders en dagen machinetijd
$\Rightarrow$ Als oplossing heb ik TK= 9x+y ?

De onderneming beschikt over een budget van 18, in volgende vragen wordt onderzocht wat het hoogste productieniveau is danzij dit budget.
Teken alle combinaties (x,y) mogelijk voor een totaal budget van 18.
$\Rightarrow$ 18 = 9x+y waarbij x=0,y=18 en y=0,x=2 en dit getekend op de grafiek ?
Vul de vorige vraag aan met een kaart van de productiefunctie Q door de isokwanten van productieniveau 1,2,3,4 te visualiseren en teken de budgetbeperking van vergelijking 1.
$\Rightarrow$ hier neem ik de functie q=x¹/2·y¹/2 en vorm om naar y=q/(x¹/2), daarna vul ik q=1 in en neem een aantal punten voor x en dit voor de andere productieniveau's idem maar wat met de budgetbeperking?
leg uit hoe je kan aflezen hoeveel de onderneming maximaal kan produceren met een budget van 18
? geen idee hierover
bereken algebraïsch de maximale productie met een budget van 18 en bepaal hoeveel arbeiders en machinetijd ze daarvoor moeten inzetten?
? ook hier geen idee.

Alvast bedankt om hier duidelijkheid rond te verschaffen en of mijn huidige bevindingen juist zijn.
glenn
Student universiteit België - donderdag 3 november 2016

Antwoord

Hallo Glenn,

Je zit op de goede weg. Alle combinaties (x,y) die mogelijk zijn voor een totaal budget van 18 vormen inderdaad de rechte lijn die je beschrijft. Althans: wanneer je het volledige budget besteedt. Alle combinaties onder deze lijn kunnen natuurlijk ook, dan besteed je minder dan de maximale hoeveelheid van 18.

Bij het omvormen van je formule heb je een rekenfout (of typfout) gemaakt:

q = x^1/2·y^1/2
y^1/2=q/x^1/2

Beide zijden kwadrateren levert:

y = q²/x

Neem nu q=1, 2, 3 en 4 en teken voor deze waarden de grafiek van y door steeds enkele waarden van x te nemen en de bijbehorende waarden van y te berekenen. Je vindt 4 keer een hyperbool (want x en y zijn omgekeerd evenredig).
De budgetbeperking van vergelijking 1 is het deel in de figuur onder de lijn behorend bij 9x+y=18. Je zult zien dat een deel van de hyperbool van q=1 onder deze lijn door loopt. Dit deel van de hyperbool geeft dus combinaties (x,y) weer waarmee productieniveau q=1 gehaald wordt, met kosten kleiner of gelijk aan 18.
Hetzelfde voor q=2: ook deze hyperbool loopt deels onder de lijn van maximaal budget door, dus q=2 is ook haalbaar met verschillende combinaties (x,y).
Als je netjes hebt getekend, zie je dat de hyperbool van q=3 net raakt aan je budgetlijn. Er is precies één combinatie (x,y) waarmee je q=3 haalt. De hyperbool bij q=4 ligt in zijn geheel boven je budgetlijn, binnen het budget van 18 is geen combinatie (x,y) mogelijk waarmee productieniveau q=4 wordt gehaald.

Om de maximale productie te vinden, schrijf je je budgetbeperking eerst om:

9x+y=18
y=18-9x

Dit vul je in je productiefunctie in:

q=x^1/2·y^1/2
q=x^1/2·(18-9x)^1/2

Hiervan zoeken we de maximale waarde. Handig is om te kwadrateren (immers: als q maximaal is, dan is q² ook maximaal):

q² = x·(18-9x) = 18x-9x²

Het maximum van q² vind je via differentiëren of grafisch-numeriek bij x=1. Invullen in deze vergelijking levert q²=9, dus q=3.
We vonden al: y=18-9x, dus y=9.

Bij de combinatie x=1 en y=9 vind je dus de maximale waarde van q=3.

OK zo?

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 november 2016