WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Kettingbreuken

Hallo, ik heb al eerder een vraag gesteld over 4 kettingbreuken, een van de kettingbreuken, van het getal: 0,5+0,55, alle termen zijn in dit geval 1, ik moet maar 5 termen berekenen, maar als je de getallen achter de komma dan uit wil rekenen, kloipt alleen het eerste getal, als je heeel lang door gaat klopt het wel, maar 5 termen betekent toch dat 5 cijfers achter de komma dan ook kloppen?
En mag er een 0 voorkomen in de termen?
lisa d
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 27 februari 2003

Antwoord

Je loopt in de praktijk natuurlijk tegen de onvermijdelijke afrondingen door de rekenmachine aan. Men kan overigens langs een andere weg laten zien dat de kettingbreuk met uitsluitend het getal 1 in de serie getallen bij 0,5 + 0,55 hoort. Er wordt dan gebruik gemaakt van zogenaamde convergenten, maar ik weet niet of je met dat begrip bekend bent. Maar misschien kun je het ook volgen met de volgende uitleg:

omdat ¹/₂ + ¹/₂5 tussen 1 en 2 ligt, kun je de volgende eerste stap nemen:
¹/₂ + ¹/₂5 = 1 + 1/x₁ waarbij de breuk 1/x₁ = ¹/₂ + ¹/₂5 - 1 = -¹/₂ + ¹/₂5 en dus is x₁ = 1/(-¹/₂ + ¹/₂5).
Je zal nu niet direct zien dat deze laatste breuk gelijk is aan het getal ¹/₂ + ¹/₂5, maar als je kruislings vermenigvuldigt krijg je
(-¹/₂ + ¹/₂5).(¹/₂ + ¹/₂5)= -¹/₄ + ⁵/₄ = 1.

Omdat we nu aangetoond hebben dat x₁ weer gelijk is aan het begingetal ¹/₂ + ¹/₂5, snap je nu waarschijnlijk wel dat je in de ontwikkeling van de kettingbreuk constant op hetzelfde begingetal 1 blijft uitkomen.

Wat je vraag over de 0 betreft: het eerste getal kan uiteraard 0 zijn (als het getal dat je ontwikkelen moet zelf tussen 0 en 1 ligt), maar daarna is elk getal minstens 1.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 27 februari 2003