WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

AfgeleidenDifferentiaal

Je hebt populatie vogels met voorschrift: 4000f'(t) - 20 f(t) + f''(t) = 0
F(t) = 1000 dieren
t = dagen

Vraag 1) bij f(0) = 40 --$>$ wat zal er gebeuren?
Antwoord 1) De populatie zal stijgen omdat de eerste afgeleiden groter dan nul is.

Vraag 2) Geef de formule voor f(t)
Antwoord 2) f(t) = (-f''(t) -4000 f'(t)) / -20 = (f''(t)/20) + 200 f'(t)

Vraag 3) Geef weer waar de grafiek gaat stijgen en dalen
Antwoord 3)
Stap 1: 0 = (f''(t)/20) + 200 f'(t)
Stap : Discriminant = 200 waarbij punten T1 en T2 gelijk zijn aan 0 en -400
Dus f(t) = C.e^0t + C.e^-4000t

dit zijn dus de nulpunten van de eerste afgeleiden. Hierbij kan men een tekenonderzoek doen.

Vraag 4) Wanneer zal de populatie met 25% wijzigen?
Antwoord 4)

f(t) = C.e^0t + C.e^-4000t
F(t) = C.e^-400t = C.e^-400.1/4 (1/4 = 25%)
e^-400t = e^-100
ln e^-400t = ln e^-100
t = 1/4

Dit zijn de antwoorden die ik bekom bij het uitwerken van deze oefeningen. Ik weet niet als ik de juiste werkmethodes gebruik?

Alvast bedankt!

Mvg
Kevin
Kevin
Student Hoger Onderwijs België - maandag 25 mei 2015

Antwoord

Ik kan niet erg goed volgen wat je allemaal uitspookt, maar zal in elk geval vraag 2 voor je beantwoorden. Hopelijk kun je dan verder.
Er wordt gevraagd om f(t) te bepalen, maar het enige dat je doet is de f(t) losweken uit z'n omgeving. Maar dan heb je toch niets opgelost?
Ter vergelijking: als je moet oplossen 3x² - x - 7 = 0, dan kun je daar weliswaar van maken x = 3x² - 7, maar dan is dat toch niet de oplossing?

De differentiaalvergelijking is f''(t) + 4000f'(t) - 20f(t) = 0
Uit theoretische overwegingen kun je laten zien dat je de oplossing moet zoeken in de functie f(t) = e^mt.
Door deze functie plus zijn afgeleiden in te vullen in de gegeven DV, vind je de zogeheten karakteristieke vergelijking m² + 4000m - 20 = 0
Deze vergelijking kun je oplossen (abc-formule) waarbij je twee niet al te 'leuke' oplossingen vindt. Misschien is het binnen je probleemstelling toegestaan om ze te benaderen. Als je dat doet, vind je de oplossingen 0,005 en -4000.
De theorie zegt nu dat de oplossing van de DV wordt gegeven door de functies
f(t) = c₁e^0,005t + c₂e^-4000t
waarbij de twee constanten in principe nog vrij te kiezen zijn.

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 26 mei 2015

Re: AfgeleidenDifferentiaal