WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Fourier transformatie en het convolutieproduct

Dit is een reactie op vraag 74308

De integraal die berekend moet worden is de volgende

I=(1/4)INT[e^(-2|u|)e^(-2|t-u|)]du=
(1/4)INT[e^(-2(|u|-|t-u|))]du, van -oneindig tot oneindig.

|u|=u voor u0 en -u voor u0.

|t-u|=t-u voor ut en -t+u voor ut.

Ik heb I in drie integralen opgesplitst

I=I1+I2+I3

I1=(1/4)INT[e^(2t)]du van -oneind tot 0 want voor t0 geldt dat (-u)-(t-u)=-t dus mijn functie wordt e^(-2(-t)).

I1=(1/4)e^(2t)lim(R-oneind)[u] -R tot 0 geeft -oneindig

I2=(1/4)INT[e^(-4u+2t)]du van 0 tot t geeft

I2=(-1/8)e^(-2t)+(1/8)e^(2t)

I3=(1/4)INT[e⁻2t]du van t tot oneindig

I3=(1/4)e^(-2t)lim(R-oneind)[R-t] geeft oneindig

Ik begrijp niet precies hoe ik nu verder moet want I1 en I3 zijn niet eindig.

viky
Iets anders - vrijdag 14 november 2014

Antwoord

Iets beter opletten met $|u|$ en $|t-u|$; laten we aannemen dat $t$>$0$ voor het gemak.
Als $u$ negatief is dan hebben we $-2|u|=2u$ en $-2|t-u|=-2t+2u$, dus de eerste integraal is $\int_{-\infty}^0 e^{-2t} e^{4u}\,\mathrm{d}u$, die convergeert.
Als $u$ tussen $0$ en $t$ zit hebben we $-2|u|=-2u$ en $-2|t-u|=-2t+2u$, dus de tweede integraal wordt $\int_0^t e^{-2t}\,\mathrm{d}u$.
De derde integraal wordt dan $\int_t^\infty e^{2t}e^{-4u}\,\mathrm{d}u$ en die convergeert ook.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 14 november 2014