WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De gerichte limiet van een verzameling

Beste wisfaq,

Zij V een vectorruimte over een lichaam K en ((Ai)_(i in I), (f_ij)_(i=$<$j)) is het gerichte systeem over I=N, de natuurlijke getallen, zodat

Ai=V als i even is en Ai=0 als i oneven is.

vraag1. Wordt hier met 0 de additieve identiteit in de vectorruimte V bedoelt?

En f_ij=0 voor alle i=$<$j.

Ik wil de gerichte limiet (een vectorruimte) beschrijven van de elementen Ai.

1. Zij A={Ai, i in N} de gerichte familie met index verzameling de natuurlijke getallen. Dit betekent dat

(a) I=N, de natuurlijke getallen is een gerichte verzameling,
(b) als i$\le$j in N, dan bestaat er een functie f_ij : Ai -$>$Aj,
(c) f_ii is de identiteit op Ai,
(d) als i =$<$j=$<$k, dan is f_jk o f_ij = f_ik.

vraag2. Ai is gelijk aan de vectorruimte V of gelijk aan het element 0. Dus de verzameling A bestaat uit twee elementen, V en 0. Is dit correct?

Het is gegeven dat f_ij=0 voor alle i=$<$j. Dus er geldt ook f_ii=0 omdat i=$<$i. (d) volgt direct uit het feit dat f_ij=0 voor alle i=$<$j.

2. Zij U de disjuncte vereniging van alle elementen van A.

Hier loop ik al vast omdat ik niet goed begrijp waar de verzameling A uit bestaat en of met 0 de additieve identiteit in V wordt bedoelt.

U heeft de volgende eigenschappen:
- voor iedere a in U, geldt dat a is in Ai voor een i in N,
- als a in Ai en b in Aj en i niet gelijk aan j, dan is a niet gelijk aan b.

3. Op U kan een binaire relatie ~ als volgt gedefinieerd worden:

voor a in Ai en b in Aj , a~b d.e.s.d.a. er een Ak bestaat zodat f_ik(a)=f_jk(b).
~ is een equivalentie relatie op U.

4. De gerichte limiet is het quotiënt U/~.

Vriendelijke groeten,

Viky
viky
Iets anders - dinsdag 7 oktober 2014

Antwoord

1. Niet echt, met $0$ bedoelt men de triviale vectorruimte, die met alleen een nulvector. Eigenlijk moet er $A_{2i+1}=\{0\}$ staan.
2. Nee, je hebt, formeel, oneindig veel vectorruimten: elke $A_{2i}$ is een (isomorfe) kopie van $V$ en $A_{2i+1}$ is een kopie van $\{0\}$.
3. $U=\bigcup_{i=1}^\infty \{i\}\times A_i$; zo maak je een disjuncte vereniging.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 10 oktober 2014

Re: De gerichte limiet van een verzameling