WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Eenhedengroep

Hallo wisfaq! Als voorbereiding op ons examen hebben we een aantal oud-examenvragen gekregen. Twee hiervan kan ik jammer genoeg niet oplossen.
De eerste luidt als volgt: De eenhedengroep van ₂₀₀₇,· heeft een deelgroep van orde 6.

Ik zou zeggen JA, want 6 is een deler van de orde van deze eenhedengroep, namelijk 1332. We dienen hier echter ook een voorbeeld van te geven indien deze bestaat... Maar dit lukt me dan weer niet :(

De tweede vraag is: Voor elke x uit de eenheden groep van ₁₃₀₂ geldt dat x¹⁰⁰ een orde heeft die 1404 deelt... Ik weet dat de orde van x een deler van 360 (orde van de eenhedengroep) is, maar hiermee kan ik niet echt verder werken...

Alvast bedankt voor jullie hulp!
Christ
Student universiteit België - dinsdag 31 december 2013

Antwoord

Dat $6$ een deler van de orde is garandeert niet meteen dat er zo'n element is, het Abels zijn van de groep is ook nodig.
Merk op $2007=9\times 223$ en $223$ is priem. De eenhedengroep van $\mathbb{Z}_{2007}$ is dus isomorf met die van $\mathbb{Z}_9\times\mathbb{Z}_{223}$. Het element $(2,1)$ heeft in die laatste groep orde $6$ (want $2$ heeft orde $6$ in de eenhedengroep van $\mathbb{Z}_9$). Zoek nu, met behulp van de Chinese reststelling, een getal $x$ in $\mathbb{Z}_{2007}$ met de eigenschap dat $x\equiv2\pmod9$ en $x\equiv1\pmod{223}$.
Tweede vraag: $100\times1404=140400$ is een veelvoud van $360$, dus $(x^{100})^{1404}$ is altijd $1$.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 31 december 2013