WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Vectorieel product inproduct

Bewijs dat voor alle a,b,c element van ³ dat

a x (b x c) = $<$a,c$>$ · b - $<$a,b$>$ · c

a x (b x c) = (a₁,a₂,a₃) x (b₂c₃-b₃c₂, b₃c₁-b₁c₃, b₁c₂-b₂c₁)

= (a₂b₁c₂-a₂b₂c₁-a₃b₃c₁+a₃b₁c₃, a₃b₂c₃-a₃b₃c₂-a₁b₁c₂+a₁b₂c₁, a₁b₃c₁-a₁b₁c₃-a₂b₂c₃+a₂b₃c₂)

$<$a,c$>$ · b - $<$a,b$>$ · c = (a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃)·b - (a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)·c

Hier zit ik vast, ik zie niet hoe dit aan mekaar kan gelijk zijn?
Anon
Student universiteit België - donderdag 1 november 2012

Antwoord

En je bent er bijna!
Je hebt het product a·(b·c) helemaal correct uitgewerkt.

Kijk nu eens naar het stukje (a₁c₁+a₂c₂+a₃c₃)·b aan het eind van je verhaal.
Wat tussen de haakjes staat, is een getal (dus géén vector!).
Vector b wordt met dit getal vermenigvuldigd, wat betekent dat elk van de 3 kentallen ermee wordt vermenigvuldigd.
Dat levert dus op (en misschien schrijf je het liever in kolomvorm):
(a₁b₁c₁ + a₂b₁c₂ + a₃b₁c₃,a₁b₂c₁ + a₂b₂c₂ + a₃b₂c₃,a₁b₃c₁ + a₂b₃c₂ + a₃b₃c₃).

Op precies dezelfde manier schrijf je $<$a,b$>$·c uit en dan trek je die twee resultaten van elkaar af.
Je zult zien dat je dan precies het zelfde overhoudt als bij a·(b·c).

MBL

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 november 2012