WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Basis voor kern lineaire afbeelding bepalen

In de voorbereiding voor een examen lineaire algebra kwam ik hetvolgende tegen als voorbereidende oefening:

Beschouw de functieruimte F=R5[x] van alle veeltermen van graad kleiner dan of gelijk aan 5. Beschouw de lineaire afbeelding L:F→R:f↦ int(f x, x = 0 .. 1)

Geef een basis voor de kern van L.
Geef alle oplossingen van de vergelijking L(f)=2
--

Ik stel voor een vector uit deze functieruimte:
p := a[0]+a[1]·x+a²·x²+a³·x³+a[4]·x⁴+a[5]·x⁵

Vervolgens bereken ik de integraal
a[0]+¹/₂·a[1]+¹/₃·a²+¹/₄·a³+(1/5)·a[4]+(1/6)·a[5]
en stel ik hem gelijk aan nul om de kern te vinden.

Ik krijg dus volgende vergelijking:
-6·a[0]-3·a[1]-2·a²-(3/2)·a³-(6/5)·a[4]=0

Vervolgens zit ik vast, als oplossing zou ik voor een mogelijke basis
[1-6 x⁵,x-3 x⁵,x²-2 x⁵,x³-3/2 x⁵,x⁴-6/5 x⁵]
moeten bekomen. Ik heb echter geen idee hoe ik hier aan zou moeten komen.
Bij voorbaat dank!
Claes
Student universiteit België - woensdag 20 juni 2012

Antwoord

Beste Daan,

In jouw vergelijking lijkt a[5] opeens verdwenen te zijn? Je bedoelt misschien "... = a[5]" in plaats van "... = 0", want het lijkt erop dat je de vergelijking die je krijgt door die integraal gelijk te stellen aan 0, hebt opgelost naar a[5]. Dan heb je:
$$a_5 = -6a_0-3a_1-2a_2-\frac{3}{2}a_3-\frac{6}{5}a_4$$Dit is één vergelijking met 6 onbekenden; er zijn dus oneindig veel oplossingen en je kan 5 onbekenden kiezen als vrije parameters. Kies deze handig $a_0,a_1,\ldots,a_4$ en dan is een willekeurige oplossing van de vorm:
$$\left( a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,-6a_0-3a_1-2a_2-\frac{3}{2}a_3-\frac{6}{5}a_4\right)$$Herschrijf dit eventueel naar de vorm:
$$a_0(\ldots) + a_1(\ldots) + \cdots + a_5(\ldots)$$Zie je dan het verband met de voorgestelde basis van de kern?

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 22 juni 2012