De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Structuren

Beste

Ik had een aantal vragen:

*Enkele voorbeelden van een uitwendige bewerking van de tweede soort (Op een niet-lege verzameling G is een functie van GxG naar P. Hierbij is P een andere niet-lege verzameling)

*Een voorbeeld van het volgende
-Linkernevenklasse van een deelverzameling H van een groepoïde G,* bepaald door een element a van die groepoïde G,*
-Rechternevenklasse van een deelverzameling H van een groepoïde G,* bepaald door een element a van die groepoïde G,*

*Een tegenvoorbeeld van de volgende eigenschap
(1) a*b*c*d*e*f*g = a*b*c*e*d*f*g
(2) a*b*c*d*e*f*g=a*b*e*d*c*f*g

*Een voorbeeld en tegenvoorbeeld van een abelse groep (abelse groep is een commutatieve groep)

Tim B.
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 23 mei 2012

Antwoord

Vraag 1: Kan je hier echt zelf geen voorbeeld van verzinnen? Gezien je vraag vermoed ik dat je wel wat kent van vectorruimten. Als je bijvoorbeeld het standaardinproduct op de vectorruimte der drietallen IR^3 neemt. Herinner je bijvoorbeeld dat het standaardinproduct van (-1, 0, 2) en (5, 3, -2) gedefinieerd is als
<(-1, 0, 2), (5, 3, -2)> = (-1)· 5 + 0 · 3 + 2 · (-2) = -9.

Vraag 2: Een groepoïde (ook wel een magma genoemd) is een verzameling G met daarop een inwendige bewerking. Natuurlijk is elke groep ook een groepoïde. Laten we gemakkelijkheidshalve eens G = Z nemen, met als bewerking de optelling. Laten we als H bijvoorbeeld de deelgroep van G nemen die bestaat uit alle even gehele getallen, d.w.z. H = 2Z. Laten we a=5 nemen. Per definitie is de linkernevenklasse van H bepaald door a dan de verzameling a + H = 5 + 2Z = { -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13,... }. Een rechternevenklasse kan je nu zelf wel vinden.

Vraag 3: Ik neem aan dat je bedoelt: 'vind een groep die niet voldoet aan die eigenschap'. Voor (1): door links en rechts met de inverse van a te vermenigvuldigen en daarna met b en c, en hierna langs rechts eerst met g en tot slot met f te vermenigvuldigen, is dit equivalent met het vinden van een groep zodat d·e = e·d niet geldt voor zekere elementen e en d in die groep. Dit komt dus neer op het vinden van een niet commutatieve groep. (Zie Vraag 4 hiervoor.) Voor (2): door een analoge redenering als hierboven komt dit neer op het vinden van een groep zodanig dat c·d·e=e·d·c niet geldt voor zekere elementen c, d en e in die groep. Als we nu voor c het neutraal element van de groep nemen, dan volstaat het dus elementen d en e in die groep te vinden zodanig dat d·e=e·d niet geldt. Wederom zal dit volgen uit Vraag 4.

Vraag 4: Dit moet je toch echt zelf kunnen verzinnen? Wat betekent commutativiteit van een groep G? Dat betekent dat voor alle x en y in G moet gelden dat x·y=y·x. Neem bijvoorbeeld opnieuw G=Z, de gehele getallen, met als bewerking de optelling. Je weet toch dat als je gehele getallen bij mekaar optelt, de volgorde waarin je dat doet, niet uitmaakt? Ergo, Z is commutatief. Een niet-commutatieve dan, dat is misschien iets lastiger. Een van de meest elementaire voorbeelden is de groep van de (2 x 2)-matrices met de matrixvermenigvuldiging als groepsbewerking. Je hebt in het middelbaar geleerd dat het vermenigvuldigen van matrices niet commutatief is, i.e. de volgorde waarin je dat doet maakt uit!

Frank
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 24 mei 2012
 Re: Structuren 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3