WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Rationale en irrationale functies

Gegeven:

$
\eqalign{f(x) = \frac{{ax^3 + bx^2 + cx + d}}
{{x^2 + ex}}}
$

Vraag: bepaal a,b,c,d en e zodat de grafiek van f de rechten y=3 en x=2 als asymptoten heeft en een opening heeft in het punt P(0,6).
Marie
3de graad ASO - dinsdag 1 november 2011

Antwoord

Hallo Marie,

Ik geef je enkele tips:

Een verticale asymptoot vind je bij een waarde van x waarbij je probeert door nul te delen. Jouw functie heeft een verticale asymptoot bij x=2. Welke waarde moet e hebben zodat je bij x=2 door nul zou delen?
Laten we bekijken wat er gebeurt bij heel grote waarden van x: in de noemer is dan eigenlijk alleen x² nog van belang, omdat dit heel veel groter wordt dan ex. In de teller is dan alleen ax³ belangrijk. Voor grote waarden van x wordt jouw functie dus 'ongeveer' ax³/x², dus ax. Bij heel grote waarden van x zou dit oneindig groot worden. Maar: ax mag helemaal niet groot worden, want y=3 is een horizontale asymptoot. Welke waarde van a zorgt ervoor dat a.x nul wordt bij elke (dus ook grote) waarden van x?
Je bent nu van a af. Voor grote waarden van x wordt jouw functie 'ongeveer' bx²/x². Omdat y=3 een horizontale asymptoot is, moet voor grote waarden van x gelden: bx²/x² = 3. Welke waarde van b volgt hieruit?
Een opening of perforatie vind je wanneer je nul probeert te delen door nul. Voor jouw funtie geldt dus: bij x=0 moeten zowel teller als noemer nul zijn. Welke waarde voor d volgt hieruit?
Tot slot de y-coördinaat van de opening. Omdat bij x=0 zowel de teller als noemer nul zijn, kan je in de teller en noemer x buiten haakjes halen. Je krijgt dus iets als:

y = x(.....) / x(......)

De x in teller en noemer deel je weg, je houdt over:

y = (.....) / (......)

Het probleem van 'nul delen door nul' is nu opgelost. Je moet er nu voor zorgen dat y=6 wanneer je x=0 invult. Welke waarde van c volgt hieruit?
Ik ben benieuwd of het zo lukt. Wanneer je er niet uitkomt, mag je gerust weer een vraag stellen, maar: geef dan wel aan wat je hebt geprobeerd, wat er wel lukt en waar je vastloopt. Dan kan ik je gerichter helpen. Succes!

GHvD

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 1 november 2011