WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Verwachtingswaarde loterij

Jan speelt elke dag een darttoernooi met 10 personen die elk 10 euro inleggen.
De prijzenpot wordt als volgt verdeeld:

1e prijs: 50
2e prijs: 30
3e prijs: 20

Jan is beter dan de gemiddelde dartspeler en de kansen dat hij op plaats x eindigt zijn als volgt verdeeld:

1e plek 20%
2e plek 15%
3e plek 10%
4e - 10e plek 55%

De verwachtingswaarde (winst)voor deze wedstrijd is voor Jan:

0.20 x 40 = 8
0.15 x 20 = 3
0.10 x 0 = 0
0.55 x -10 = -5.5

8 + 3 + 0 - 5.5 = 5.5 euro

Per gespeelde wedstrijd zal Jan dus gemiddeld 5.50 euro winst maken.

De vraag is als volgt:

Wat is de kans dat Jan na 50 avonden darten geen winst heeft gemaakt?

Ik ben totaal lost en weet niet waar ik moet beginnen.

Mark
Student hbo - donderdag 13 oktober 2011

Antwoord

Hallo, Mark.

Er is een onduidelijkheid in uw vraagstelling.
Is de derde prijs nu 20 euro of 10 euro?
U zegt eerst 20, maar bij de berekening van de verwachtingswaarde gaat u blijkbaar uit van 10.
Ik neem aan dat het toch 20 moet zijn, want er wordt in totaal 100 euro ingelegd. De verwachtingswaarde is dan niet 5.5 maar 6.5 euro.
De verwachting van de winst na 50 wedstrijden is 50*6.5 = 325 euro, dus de kans dat Jan na 50 avonden nog geen winst heeft gemaakt zal wel klein zijn.
Er is in uw vraagstelling nog een onduidelijkheid.
Wordt de kans gevraagd dat Jan op geen enkele van de 50 avonden winst maakt, of de kans dat de totale winst na 50 avonden niet positief is? Ik ga uit van het laatste.
(De kans dat Jan 50 avonden achter elkaar elke avond geen winst maakt is de 50-ste macht van de kans dat hij op een bepaalde avond geen winst maakt, dus 0.55⁵⁰.)

Stel dat Jan op X1 avonden de eerste prijs wint, op X2 avonden de tweede prijs, op X3 avonden de derde prijs, en op 50-X1-X2-X3 avonden geen prijs.
De totale winst is dan TW = 50X1 + 30X2 + 20X3 - 500 euro.
P(TW 0) = å _{0x150 Ù 0x250-x1 Ù 0x350-x1-x2 Ù 50x1+30x2+20x3500} P(X1=x1 Ù X2=x2 ÙX3=x3) = å _{0x150 Ù 0x250-x1 Ù 0x350-x1-x2 Ù 50x1+30x2+20x3500} ((50!)/((x1!)(x2!)(x3!)((50-x1-x2-x3)!)))*(0.2)^x1(0.15)^x2(0.1)^x3(0.55)^50-x1-x2-x3.
Deze kans kan men dus uitrekenen met een programmaatje waarvan de kern is:
som:=0;
for x1:=0 to 50 do for x2:=0 to 50-x1 do for x3:=0 to 50-x1-x2 do
if 50x1+30x2+20x3500 then
som:=som + ((50!)/((x1!)(x2!)(x3!)((50-x1-x2-x3)!)))*(0.2)^x1(0.15)^x2(0.1)^x3(0.55)^50-x1-x2-x3;
writeln(som).

NB1: Men kan ((50!)/((x1!)(x2!)(x3!)((50-x1-x2-x3)!))) het gemakkelijkst uitrekenen als het product van de binomiaalcoëfficiënten B(50,x1), B(50-x1,x2) en B(50-x1-x2,x3).
Deze binomiaalcoëfficiënten berekent men met de de driehoek van Pascal als volgt:
for k:=0 to 50 do begin B(k,0):=0; B(k,k):=0 end;
for m:=1 to 50 do for n:=1 to m-1 do B(m,n):=B(m-1,n-1)+B(m-1,n).

NB2: de restricties op x1,x2,x3 kan men ook samenvatten door:
0x110, 0x2(50-5x1)/3, 0x3(50-5x1-3x2)/2.
Dus men kan de som ook zonder computer uitrekenen, en desnoods zelfs zonder handrekenmachine.

Succes ermee!

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 14 oktober 2011