WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Optimaliseren monopolist

Veronderstel dat een monopolist een goed aanbiedt op twee verschillende en gescheiden markten. Hij kan op beide markten een verschillende prijs vragen voor zijn product. Elke markt wordt gekenmerkt door zijn eigen
vraagfunctie Qi : R+ → R+ : p → qi = Qi(p) (i = 1, 2) die beschrijft hoe de vraag naar het goed afhangt van de prijs. Veronderstel dat Q1 en Q2 gegeven worden door
Q1(p) = 100 − 2p als 0 ≤ p ≤ 50
0 als p $>$ 50
en

Q2(p) = 90 − 3p als 0 ≤ p ≤ 30
0 als p $>$ 30.
We nemen aan dat de totale productiekost voor de monopolist enkel afhangt van de totale productie q. We stellen volgende concrete totale kostfunctie K voor
K : R+ → R : q → K(q) = 20q.

De initiële vraag vormde geen probleem. Het is het tweede deel van de oefening waar ik moeite mee heb:
Beschouw nu de situatie waarbij de monopolist verplicht wordt eenzelfde prijs op beide markten te vragen. Hoe zal hij nu zijn winst maximaliseren?

Het voornaamste probleem is om een algemene winstfunctie op te stellen.

Dank bij voorbaat
Willem
Student universiteit België - zaterdag 11 juni 2011

Antwoord

Beste Nicolas,

Allereerst moet je je bedenken dat je te maken hebt met twee gescheiden prijsdomeinen: als 0≤p≤30 krijgt de aanbieder vraag op twee markten en als 30$<$p≤50 dan krijgt hij alleen op markt nummer 1 vraag.

Beschouw deze twee domeinen apart. Eerst de situatie 0≤p≤30. Dan geldt q = Q₁(p) + Q₂(p) = 100 - 20p + 90 - 3p = 190 - 5p.
Herleiden geeft p = 38 - 0,2q.
Deze p kun je invullen in de algemene winstfunctie W(q) = pq - K(q), dus krijg je:
W(q) = (38 - 0,2q)q - K(q) = 38q - 0,2q² - 20q = 18q - 0,2q².
Differentiëren en de afgeleide op nul stellen geeft nu:
W'(q) = 18 - 0,4q = 0 $\Leftrightarrow$ q = 18/0,4 = 45
(controleer dat W''(45) = -0,4 $<$ 0, dus het betreft een lokaal maximum).
q = 45 geeft p = 38 - 0,2·45 = 38 - 9 = 29
(merk op dat inderdaad 0 ≤ 29 ≤ 30)
en W(45) = 18·45 - 0,2·45² = 405.

Beschouw nu de situatie 30$<$p≤50. Dan geldt q = Q₁(p) = 100 - 2p.
Herleiden geeft p = 50 - 0,5q.
Deze p kun je invullen in de algemene winstfunctie W(q) = pq - K(q), dus krijg je:
W(q) = (50 - 0,5q)q - K(q) = 50q - 0,5q² - 20q = 30q - 0,5q².
Differentiëren en de afgeleide op nul stellen geeft nu:
W'(q) = 30 - q = 0 $\Leftrightarrow$ q = 30
(controleer dat W''(30) = -1 $<$ 0, dus het betreft een lokaal maximum).
q = 30 geeft p = 50 - 0,5·30 = 50 - 15 = 35
(merk op dat inderdaad 30 $<$ 35 ≤ 50)
en W(30) = 30·30 - 0,5·30² = 450.

Vergelijk nu de uitkomsten: 450 $>$ 405, dus het tweede lokale maximum is een globaal maximum, dus de monopolist zal de tweede situatie kiezen, dus q = 30, p = 35 en W = 450.

Succes!

KLY

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 9 augustus 2011