WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Overzicht van verschillende soorten bewijzen

Ik zoek voorbeelden van een rechtstreeks bewijs, een bestaansbewijs, een tegenvoorbeeld, een bewijs door opsplitsing van het onderstelde en een bewijs door uitputting. Bedankt op voorhand.
Tom bo
Student Hoger Onderwijs België - woensdag 8 oktober 2003

Antwoord

Hieronder een overzicht van de soorten bewijzen.
De lijst is samengesteld als een gezamenlijke effort van een aantal WisFaq beantwoorders en we hebben geprobeerd het zo compleet mogelijk te maken.
Veel van de bewijzen waren te vinden onder de beantwoorde vragen.

rechtstreeks bewijs
Voorbeelden van een rechtstreeks bewijs zijn de volgende:
Middelloodlijnen
Bewijzen
bestaansbewijs
Hier is een uitleg te vinden:
Bestaansbewijs en bewijs door uitputting
tegenvoorbeeld
Dit zou je bijvoorbeeld in het volgende voorbeeld kunnen gebruiken.

Stelling: De som van de echte delers van een getal is altijd kleiner of gelijk aan het getal zelf.
Tegenvoorbeeld: 12,
De echte delers zijn 1,2,3,4,6 en de som daarvan is 16

bewijs door opsplitsing van het onderstelde
We weten niet helemaal zeker wat met deze vorm van bewijzen wordt bedoeld.

Een mogelijkheid zou de volgende kunnen zijn:
We splitsen p $\Leftrightarrow$ q in p $\Rightarrow$ q en q $\Rightarrow$ p

Iets soortgelijks is als je moet bewijzen dat er een unieke oplossing is voor een bepaald probleem. Je zou dan eerst kunnen bewijzen dat er een oplossing bestaat, en daarna dat die oplossing uniek is.

bewijs door uitputting
Hier is een uitleg te vinden:
Bestaansbewijs en bewijs door uitputting
En hier nog een voorbeeld:
In een oud studieboek vond ik het volgende bewijs van Eudoxos.
Stelling: De inhoud van een kegel is gelijk aan hO/3 waarbij h de hoogte van de kegel is en O de oppervlakte van het grondvlak.

Bewijs met de methode der exhaustie:
Er zijn drie mogelijkheden: de inhoud van de kegel is groter, kleiner of gelijk aan hO/3.

Als je nu aan kunt tonen dat de mogelijkheden kleiner en groter zijn uitgesloten heb je door uitputting de gelijkheid bewezen.

Stel nu dat de inhoud van de kegel (I) gelijk is aan A, met A < hO/3. Eudoxos kon bewijzen dat voor elke A, hoe dichtbij hO/3 dan ook een getal n te vinden was zodat n boven op elkaar binnen de kegel geplaatste cilinders een inhoud hadden groter dan A. Maar omdat de stapel cilinders binnen de kegel is gestapeld, is de inhoud kleiner dan de inhoud van de kegel. Dit leidt dus tot een tegenspraak. Want nu is A kleiner dan de inhoud van de cilinders en die weer kleiner dan de inhoud van de kegel dus: A is ongelijk aan I.

Op dezelfde manier kun je nu met om de kegel geplaatste cilinders bewijzen dat de inhoud van de kegel ook niet groter is dan hO/3.

Er is nu uitputtend bewezen dat de inhoud van de kegel wel gelijk moet zijn aan hO/3.
bewijs met volledige inductie
Hier kun je een algemene uitleg vinden:
Wat is volledige inductie?
En hier een voorbeeld:
Hoe werkt een bewijs met behulp van volledige inductie
bewijs uit het ongerijmde
Dit soort bewijzen wordt ook wel 'indirect bewijs' of 'reductio ad absurdum' genoemd.
Dat er oneindig veel priemgetallen zijn, kun je bewijzen door een tegenvoorbeeld te vinden voor de stelling dat er eindig veel priemgetallen zijn.
Er zijn oneindig veel priemgetallen
Maar ook bij
De wortel van elk priemgetal is irrationaal
wordt gebruik gemaakt van een bewijs uit het ongerijmde.
Tevens bij
Bewijs door contrapositie
bewijs door eindige afdaling
Toepassing van de stelling van Wilson
Bewijs door constructie
Je laat hier de juistheid zien door een constructie.

Een voorbeeld:
John Conway's puzzelstukjesbewijs van de Stelling van Morley
En nog een (simpeler) voorbeeld:
blank'>Bewijs van de cykelgraaf
Dit is het gezamelijk werk van: els, dk, FvL, gm en andros.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 9 oktober 2003