De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Projectieve meetkunde: centrale collineatie

Als spiegelingen in het platte vlak opgevat kunnen worden als centrale collineaties. Klopt het dan dat
a. Bij een puntspiegeling in een punt S het centrum S is en er geen as van collineatie is. (klopt dit?)
b. Bij een lijnspiegeling in een lijn l de as van collineatie de lijn l zelf is en er geen centrum is?
Mag ik dit zo stellen?

Daarna dit probleem:

______________________________h

S

A
Het vlak V met de punten S en A.
De lijn h is de horizon van dit vlak V. A wordt gespiegeld in S en komt terecht op B.
Construeer in het perspectief het punt B. Bij de constructie is het alleen toegestaan lijnen door twee reeds gevonden punten te trekken, en gevonden lijnen met elkaar te snijden.
Licht de constructie toe en bewijs de geldigheid.

Ik heb het volgende bedacht:
Bij de constructie heb ik A in S gespiegeld maar dit komt boven de horizon uit, Vervolgens heb ik dat fictieve punt gespiegeld in de horizon en B' genoemd. Op de horizon heb ik dan verdwijnpunt 1 gevonden.

vervolgens B' met S verbonden en gespiegeld zodat ik A' heb.

Als ik nu A met A' verbindt krijg ik verdwijnpunt 2 op de horizon.

Verdwijnpunt 1 met B' verlengd en gesneden met verdwijnpunt 2 met S. Het snijpunt heb ik B genoemd.
Omdat ik twijfel over deze oplossing hoop ik dat iemand mij kan helpen met de juiste aanpak.


Leen
Student hbo - maandag 16 augustus 2010

Antwoord

Hallo, Leen.

a) Er is wel een as, namelijk de oneigenlijke lijn. Elk oneigenlijk punt valt samen met zijn beeldpunt bij de spiegeling.
b) Er is wel een centrum, namelijk het oneigenlijk punt L van l. Elke lijn evenwijdig aan l gaat bij spiegeling over in een lijn evenwijdig met l.

Wat uw probleem betreft:
Het snijpunt V van AS met de horizon ligt in werkelijkheid oneindig ver van A en van S. Het punt B komt ergens tussen A en de horizon te liggen, dus het heeft geen zin om te spiegelen zoals u dat doet.
Oplossing:
B is de vierde harmonische bij A en {S,V} (want de centrale projectie vanuit het oog van het tafereel naar het tableau bewaart de dubbelverhouding).
De constructie van de vierde harmonische gaat met behulp van de figuur van de volledige vierhoek.

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 20 augustus 2010



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3