|
|
\require{AMSmath}
Exponentiele vergelijkingen
Een HBS-B vraagstuk uit 1957: Voor welke waarde(n) van p heeft de vergelijking: 2^(2x+1) -(9.2^x)=p, twee wortels waarvan de som 1 is? In het algemeen worden deze vraagstukken met logaritme opgelost; zodat log 2^(2x+1) -log 9 + log 2^x = log p -- (2x+1)log 2 - log 9 + x log 2 = log p -- (3x+1)log 2 - log 9 = log p -- (3x+1)log (2/9) = log p Verder is x(1) + x(2)=1 Verder weet ik het helaas niet. Wie helpt mij op weg? Bij voorbaat hartelijk dank!
Johan
Student hbo - donderdag 6 mei 2010
Antwoord
Denk aan de haakjes, want nu doet u de rekenkundige bewerkingen soms in de verkeerde volgorde. Bovendien is log(A-B) niet gelijk aan log(A)-log(B). Het wordt overzichtelijker als men de exponenten gewoon hoog zet, zoals op papier, en niet die lelijkehoeft te gebruiken. Dus: 22x+1 - 9·2x = p. Logaritme nemen maakt het hier niet eenvoudiger, omdat log(A-B) niet gelijk is aan log(A)-log(B). Het wordt wel eenvoudiger als u 2x=y stelt, want dan is 22x=y2 en 22x+1=2·22x=2·y2. Er komt dan: 2·y2 - 9·y = p. Er zijn twee oplossingen voor y precies dan als de discriminant van deze vierkantsvergelijking positief is, dus dan en slechts dan als 81 + 8·p 0. De oplossingen voor y zijn in dit geval: y1 = (9+Ö(81+8p))/4 en y2 = (9-Ö(81+8p))/4. Er zijn twee oplossingen voor x precies dan als er twee positieve oplossingen voor y zijn (want 2x=y is altijd positief). Echter, y2 is negatief tenzij p0. Dus p moet tussen -81/8 en 0 liggen. De bijbehorende waarden van x zijn dan: x1 = 2log((9+Ö(81+8p))/4) en x2 = 2log((9-Ö(81+8p))/4), en de som van deze twee moet 1 zijn. Dit geeft achtereenvolgens: 2log((9+Ö(81+8p))/4) + 2log((9-Ö(81+8p))/4) = 1 2log(((9+Ö(81+8p))/4)·((9-Ö(81+8p))/4)) = 1 2log(-8p/16) = 1 (-8p/16) = 2 p=-4
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 mei 2010
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2024 WisFaq - versie 3
|