De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Functieonderzoek

f:x®y=(x2-4)/(3x2+5x-2). Er wordt gevraagd naar het domein, bereik, snijpunten met de y-as,nulwaarden, teken-verloop en grafische voorstelling. Deze opgave is natuurlijk "a piece of cake", ware het niet, dat ik dit soort opgaven sedert lang niet meer gemaakt heb en een en ander niet goed weet te verwoorden! De grafische voorstelling wordt snel gemaakt door wolfram alpha!
Verder f(x)= {(x+2)(x-2)}/{((x+2)(3x-1)}= (x-2)/3x-1)
Domein van - oneindig naar + oneindig {x= 1/3}
Bereik van - oneindig naar + oneindig
Snijpunt met de y-as, dan x=0 f(x)=(0-2)/{3(0)-1}, f(x)=2 Snijpunten met de x-as, dan y=0 0=(x-2)/3x-1. Uit de tekening blijkt mij dat x=2 en dat 3x-1 ® x=1/3 een verticale asymptoot. Maar waarom is dat zo?
Tenslotte tekenverloop:
Langzaam stijgend van - oneidig en voorbij de y-as naar + oneindig en van - oneidig naar + oneindig langs de positieve x-as. Wie is bereid dit voor mij in meer wiskundige taal te zetten? Bij voorbaat hartelijk dank!

Johan
Student hbo - woensdag 3 februari 2010

Antwoord

1) Het gegeven functievoorschrift is te schrijven als
f(x) = (x-2)/(3x-1), maar daarbij raakt het getal x = -2 uit beeld.
Voor x = -2 wordt de oorspronkelijke noemer namelijk gelijk aan 0 en dat mag niet.
De waarde x = -2 is dus onbruikbaar bij deze functie. In deze grafiek leidt dit tot een (onopvallende) perforatie in het punt (-2;4/7).
Ook x = 1/3 is onbruikbaar. Alle overige getallen zijn probleemloos.
Het domein is daarom \{-2;1/3}.

2) In verticale richting komt de grafiek niet op elk niveau. Als x namelijk heel groot wordt (of erg negatief), dan komt de y-waarde weliswaar steeds dichter bij 1/3 te liggen, maar deze waarde komt er nooit uit. Probeer maar eens de vergelijking (x-2)/(3x-1) = 1/3 op te lossen.
Ook de waarde 4/7 wordt niet bereikt, want daar valt die perforatie in de grafiek. Het zou natuurlijk nog kunnen dat de grafiek op een andere plaats tóch nog de waarde 4/7 bereikt, maar als je de vergelijking
(x-2)/(3x-1) = 4/7 oplost, komt er alleen maar x = -2 uit en die deed al niet meer mee.
De rest van de grafiek komt verder oneindig hoog resp. laag.
Daarom is het bereik \{1/3;4/7}
Die waarde 1/3 heeft overigens niets te maken met de 1/3 die de noemer nul maakt. Je hebt hier toevallig de zelfde getallen, maar de ene is een x-waarde en de andere een y-waarde.

3) Het snijpunt met de y-as is 0,2) en je kunt x = 0 zowel in de oorspronkelijke als in de vereenvoudigde vorm invullen.
Het snijpunt met de x-as vind je uit x-2 = 0 en dat levert dus (2,0) op.

4) De verticale asymptoot is de lijn x = 1/3. Het argument daarvoor is dat voor die x-waarde de noemer wél nul wordt en de teller niet.
Bij x = -2 wordt zowel de noemer als de teller nul en dan is er geen VA maar een perforatie.

5) Het tekenverloop houdt in dat je bekijkt wanneer de grafiek onder de x-as resp. boven de x-as zit.
De linkertak (van -¥ tot -2 en direct daarna van -2 tot 1/3) zit boven de x-as. Op het interval 1/3;2 zit de grafiek onder de x-as en voorbij x = 2 erboven. We zagen al dat x = 2 nulpunt is.

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 3 februari 2010



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3