WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Toepassing impliciete functiestelling

Geachte,
ik stel deze vraag in de categorie 'wiskunde en economie', omdat de kern van mijn probleem ligt in een (micro-)economische toepassing, maar het probleem is zuiver wiskundig, m.b. omtrent gebonden optimering en de impliciete functie stelling. Veronderstel dat we volgend probleem hebben:
max f (x, y)
s. t. g (x, y) = c [1]
met f en g C² type functies van IR² -$>$ IR ;
Veronderstel dat de gradiënt van g niet de nulvector is, we kunnen nu de Lagrangeaan formeren:
L (x, y, lambda) = f (x, y) - lambda ( g (x, y) - c).
Het oplossen van [1] komt nu neer op het zoeken van kritieke punten van de Lagrangeaan.
De oplossing willen we in de volgende vorm neerschrijven:
x = x· (c) , y = y· (c) , lambda = lambda· (c) ;
met andere woorden: als functies van c ;

De vraag is nu: onder welke condities zijn deze functies differentieerbaar ?

Het antwoord ligt volgens mij in het toepassen van de Impliciete functie stelling op de (nodige) eerste orde condities van de Lagrangeaan, bereken de Jacobiaanmatrix van dit stelsel (drie vergelijkingen, dus zoeken we drie endogene variabelen: x, y, lambda). Indien deze Jacobiaan niet-singulier (inverteerbaar) is in een mogelijke oplossing, kunnen we de x, y, lambda uitdrukken als functies van de parameter c .

Nu, indien aan de voldoende tweede-orde condities voldaan is, is de determinant van de Jacobiaan precies de determinant van de bordered Hessian matrix, en deze is (strikt) positief.

Klopt dit argument. Hoe veralgemeent men dit naar ongelijkheidsbeperkingen ... ;

bij voorbaat dank ;

Tom
Tom
Student universiteit België - zondag 27 september 2009

Antwoord

De oplossingen (x*(c),y*(c),l*(c)) van [1] vinden we uit

f'_x(x,y) = l g'_x(x,y),
f'_y(x,y) = l g'_y(x,y),
g(x,y) = c.

De jacobiaan wordt

f"_xx-lg"_xx...f"_xy-lg"_xy...-g'_x
f"_yx-lg"_yx...f"_yy-lg"_yy...-g'_y
g'_x...............g'_y............0

en dit is de bordered hessian.

Indien de determinant in een oplossingspunt ongelijk 0 is dan is de functie (x*(c),y*(c),l*(c)) daar lokaal gedefinieerd en differentieerbaar.
Tot zover akkoord.

Maar waarom zou de determinant positief zijn? Dat klopt vast niet altijd.

Probeer maar niet te generaliseren naar ongelijkheidsbeperkingen ipv gelijkheidsbeperkingen, want elk dergelijk vraagstuk is weer heel anders.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 1 oktober 2009

Re: Toepassing impliciete functiestelling