WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Verhaaltjessom

Hier een verhaaltjessom, ik kom er niet uit:

Het aantal deelnemers aan een marathon ligt tussen de 10 en de 100. Ze dragen de startnummers 1,2,3 enzovoort. Een van de deelnemers merkt dat de som van de startnummers die kleiner zijn dan zijn eigen startnummer gelijk is aan de som van de nummers die groter zijn dan zijn eigen nummer.
Wat is zijn startnummer en hoeveel lopers deden er mee?
Mijn conclusies hieruit:
som nrs eigen nr = som nrs eigen nr
max = 90 nrs (som is daarvan dan 4095)
min = 10 nrs (som is daarvan dan 55)
max = 100 lopers
min = 10 lopers

Ik weet niet of deze conclusies bruikbaar zijn, maar hoe pak je het vanaf hier aan? Wat is de tweede stap? Je weet namelijk niet hoeveel lopers er zijn, dan moet er dus maar één mogelijkheid zijn waarbij de nummers gelijk zijn. Hoe vind je die?
Hanna
Leerling onderbouw vmbo-havo-vwo - zaterdag 23 mei 2009

Antwoord

Beste Hanna,

Je eerste conclusie is inderdaad correct, de andere gegevens heb je ook goed uit de tekst gehaald. Voor de soms van de eerste 90 nrs heb je denk in gebruik gemaakt van 90*(90+1)/2. Dat is uitdrukking die je voor elke som van 1 tot een bepaald getal goed kunt gebruiken.

Laten we beginnen met het eenvoudiger opschrijven. Laten we n het aantal lopers noemen, en a het startnummer van deze deelnemer. We weten dan sowieso
10n100 en
an

Nu kunnen we je eerste conclusie herschrijven als:
1+2+...+(a-2)+(a-1)=(a+1)+(a+2)+...+(n-1)+n
Nu gaan we een trucje uithalen. Aan allebei de kanten tellen we nu de linker kant op (dus de som van de getallen 1 t/m a-1).
2*(1+2+...+(a-2)+(a-1))=1+2+...+(a-2)+(a-1)+(a+1)+(a+2)+...+(n-1)+n
De linkerkant kunnen we nu herschrijven met de formule waar ik het eerder over had. Bij de rechterkant telt ik a-a op, dus

2*a*(a-1)/2=1+2+...+(a-2)+(a-1)+a+(a+1)+(a+2)+...+(n-1)+n-a
De rechterkant kunnen we nu ook omschrijven!
a*(a-1)=n*(n+1)/2-a
Oftewel:
a²=n*(n+1)/2

Dus we hebben nu een relatie tussen het startnummer van die ene deelnemer, en het totaal aantal deelnemers. Zowel a en n zijn natuurlijk gehele getallen (ik heb nog nooit startnummer 25,6 gezien bijvoorbeeld), en voor 10n100 blijkt er precies een getal te zijn dat hieraan voldoet. Deze kun je vinden door wat getallen te proberen, zo vind ik n=49, en a=35, want 1+2+...+34=36+...+49.

Bernhard

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 24 mei 2009