WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Poollijn bij ontaarde kegelsnede

p(P) - x·f'_x₀+y·f'_y₀+z·f'_z₀=0

Dit is de vergelijking van de poollijn van P(x₀,y₀,z₀) ten opzichte van kegelsnede K.

1) niet-ontaard, P$\in$K
de poollijn is de raaklijn in P
2) niet-ontaard, PÏK
de poollijn is de raakkoorde door de twee raakpunten
3) ontaard, P$\in$K, P¹dubbelpunt
de poollijn is de component waarop P ligt
4) ontaard, PÏK
de poollijn is de rechte door enerzijds het dubbelpunt en anderzijds het snijpunt van diagonalen van de vierhoek gevormd door de transversaal uit P te laten variëren
5) ontaard, P = dubbelpunt
poollijn is niet gedefinieerd, de poolfiguur beschrijft heel het vlak
6) dubbelrechte, P $\in$K
poolllijn en kegelsnede vallen samen (meetkundig), maar in de verzamelingenleer hebben punten van de kegelsnede m=2, die van de poollijn m=1
7) dubbelrechte, PÏK
? WEET IK NIET ?
8) het dubbelpunt is harmonisch toegevoegd elk punt van het vlak
? BEWIJS ?

1) Klopt dit overzichtje?
2) Wil u me aub helpen met 7) en 8)?

Dank bij voorbaat!
Brent
3de graad ASO - donderdag 23 april 2009

Antwoord

Uw vergelijking voor de poollijn herken ik alleen in het geval dat P op K ligt.
Men vindt, algemeen, de vergelijking van de poollijn van P=(p,q,r) uit de vergelijking van K door 'eerlijk delen'.
Dat zal ik hieronder toepassen om uw gevallen met ontaarde kegelsneden te bekijken.
We gebruiken ook dat als P op de poollijn van Q ligt, dan Q op de poollijn van P.
Er geldt ook dat P op zijn eigen poollijn ligt dan en slechts dan als P op K ligt.

Bij niet-ontaarde K hebt u geen probleem:
1) klopt;
2) klopt, maar u moet het geen 'raakkoorde' noemen, maar gewoon 'koorde' (door de raakpunten op de raaklijnen vanuit P aan K).

Wat betreft ontaarde kegelsneden:
Als de kegelsnede ontaard is in twee (eventueel samenvallende) rechten, dan kan men de vergelijking ontbinden als (ax+by+cz)(dx+ey+fz) = 0, dus de poollijn van (p,q,r) is (ap+bq+cr)(dx+ey+fz) + (ax+by+cz)(dp+eq+fr) = 0.
De kegelsnede kan ook ontaard zijn in één punt. Dan is de vergelijking van de vorm (ax+by+cz)² + (dx+ey+fz)² = 0 en de poollijn van (p,q,r) is (ap+bq+cr)(ax+by+cz) + (dx+ey+fz)(dp+eq+fr) = 0.
Een dubbelpunt voldoet in beide gevallen aan ax+by+cz = dx+ey+fz = 0, dus bij elke ontaarding ligt een dubbelpunt altijd op de poollijn van elk punt. Dan ligt ook elk punt op de poollijn van elk dubbelpunt.
Uit het bovenstaande (eerste geval) volgt ook dat 3) klopt.
Bij 4) weet ik niet wat u bedoelt. De poollijn gaat in ieder geval door het dubbelpunt en niet door P.
Geval 5) klopt ook.
Geval 6) klopt dus niet, want dit valt onder 5).
In geval 6) en geval 7) is de vergelijking van de vorm (ax+by+cz)² = 0, en de poollijn van (p,q,r) is (ax+by+cz)(ap+bq+cr) = 0.
Als (p,q,r) op de dubbellijn ligt, staat er 0=0, dus dan is de poolfiguur het hele vlak.
Als (p,q,r) buiten de dubbellijn ligt, staat er (na vereenvoudiging) ax+by+cz = 0, dus dan is de dubbelrechte de poollijn. Dit ziet men ook door te bedenken dat P=(p,q,r) op de poollijn van elk dubbelpunt ligt, dus elk dubbelpunt op de poollijn van P.
Bij 8) weet ik niet wat u met "harmonisch toegevoegd" bedoelt, maar ik vermoed dat het er om gaat dat een dubbelpunt en elk ander punt altijd poolverwant zijn. Dat is hierboven rekenkundig bewezen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 6 mei 2009