WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Toevallige vectoren - Kansverdelingen

Hallo

Ik zit wat in de problemen bij het hoofdstuk Toevallige vectoren:
Een oefening:
1) We werpen 3 muntstukken en noteren X=aantal keer Munt. Indien X=3, dan stellen we Y=0 en stopt het spel. Als X3 werpen we de muntstukken die bij de eerste word K vertoonden nogmaals op en tellen we Y= aantal eer M bij deze tweede worp.
a) Bepaal de gezamelijke kansverdelingen en de marginale kansverdelingen van de toevalige vector (X,Y)
Dus de mogelijkheden zijn als volgt:
X=3 = Y=0
X=2 = Y=0 en X=2 = Y=1
X=1 = Y=0 en X=1 = Y=1 en X=1 = Y=2
X=0 = Y=0 en X=0 = Y=1 en X=0 = Y=2 en X=0 = Y=3

Maar hoe bereken ik nu die kansen?

Een 2de oefening:
2) We werpen 2 dobbelstenen op en noteren (X,Y) = (aantal keer "5 of 6", aantal keer "1, 2 of 3").
(i) Bepaal de gezamenlijke en de marginale k.v. van de t.v. (X, Y).
(ii) Bepaal het gemiddelde en de variantie van de marginalen.
(iii) Zoek via een redenering en via interpretatie de k.v. van X + Y

Dus hier terug hetzelfde:
X=3 = Y=0
X=2 = Y=0 en X=2 = Y=1
X=1 = Y=0 en X=1 = Y=1 en X=1 = Y=2
X=0 = Y=0 en X=0 = Y=1 en X=0 = Y=2 en X=0 = Y=3

Hoe moet ik nu verder?

Het zijn alle 2 dezelfde soort oefeningen, maar ik zie het niet in.

Alvast bedankt!
ik
Student Hoger Onderwijs België - dinsdag 14 april 2009

Antwoord

1) De kans dat X=3 (en dus Y=0) is (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8.

De kans dat X=2 is de kans dat de munten (van links naar rechts kijkend) MMK of MKM of KMM vertonen, dus 3*(1/2)*(1/2)*(1/2) = 3/8;
de kans dat vervolgens de K-munt bij opnieuw opwerpen opnieuw K geeft is 1/2, en dat hij bij opnieuw opgooien M geeft is ook 1/2.
Dus de kans op (2,0) is (3/8)*(1/2) = 3/16, en de kans op (2,1) is eveneens (3/8)*(1/2) = 3/16.

De kans dat X=1 is de kans op MKK of KMK of KKM, dus 3*(1/2)*(1/2)*(1/2) = 3/8;
de kans dat vervolgens de twee K-munten bij opnieuw opwerpen KK vertonen is (1/2)*(1/2) = 1/4, dus de kans op (1,0) is (3/8)*(1/4) = 3/32;
de kans dat de twee K-munten bij opnieuw opwerpen KM of MK vertonen is 2*(1/2)*(1/2) = 1/2, dus de kans op (1,1) is (3/8)*(1/2) = 3/16;
de kans dat de twee K-munten bij opnieuw opwerpen MM vertonen is (1/2)*(1/2)=1/4, dus de kans op (1,2) is (3/8)*(1/4) = 3/32.

De kans dat X=0 is de kans op KKK, dus (1/2)*(1/2)*(1/2) = 1/8;
de drie munten worden dan opnieuw opgegooid;
als boven is dan de kans op MMM 1/8, de kans op MMK of MKM of KMM 3/8,
de kans op MKK of KMK of KKM 3/8,
en de kans op KKK 1/8;
dus de kans op (0,3) is (1/8)*(1/8) = 1/64,
de kans op (0,2) is (1/8)*(3/8) = 3/64,
de kans op (0,1) is (1/8)*(3/8) = 3/64,
en de kans op (0,0) is (1/8)*(1/8) = 1/64.

De marginale kansverdeling van Y volgt hieruit eenvoudig door boven naar de uitkomsten te kijken:
de kans dat Y=0 is 1/8+3/16+3/32+1/64 = 27/64;
de kans dat Y=1 is 3/16+3/16+3/64 = 27/64;
de kans dat Y=2 is 3/32+3/64 = 9/64;
de kans dat Y=3 is 1/64.

2) Er zijn 36 mogelijke uitkomsten voor (L,R) waarbij L de dobbelsteen is die links voor je op tafel neerkomt, en R de dobbelsteen die rechts neerkomt:

6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6
5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6
4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6
3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6
2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6
1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

In deze 36 even waarschijnlijke gevallen heeft (X,Y) respectievelijk de volgende uitkomsten:

1,1 1,1 1,1 1,0 2,0 2,0
1,1 1,1 1,1 1,0 2,0 2,0
0,1 0,1 0,1 0,0 1,0 1,0
0,2 0,2 0,2 0,1 1,1 1,1
0,2 0,2 0,2 0,1 1,1 1,1
0,2 0,2 0,2 0,1 1,1 1,1

Dus (gewoon tellen in de matrix):
de kans op (X,Y)=(0,0) is 1/36; de kans op (X,Y)=(1,1) is 12/36 = 1/3;
de kans op (X,Y)=(0,2) is 9/36 = 1/4; de kans op (X,Y)=(2,0) is 4/36 = 1/9;
de kans op (X,Y)=(0,1) is 6/36 = 1/6; de kans op (X,Y)=(1,0) is 4/36 = 1/9.
hieruit volgt voor de marginale kansen:
de kans dat X=0 is (1+9+6)/36 = 4/9; de kans dat X=1 is (12+4)/36 = 4/9; de kans dat X=2 is 1/9;
de kans dat Y=0 is (1+4+4)/36 = 1/4; de kans dat Y=1 (12+6)/36 = 1/2; de kans dat Y=2 is 9/36 = 1/4.

Het gemiddelde (de verwachtingswaarde) van X is 0*4/9 + 1*4/9 + 2*1/9 = 2/3.
De variantie van X is (4/9)*(2/3-0)² + (4/9)*(2/3-1)² + (1/9)*(2/3-2)².
Het gemiddelde (de verwachtingswaarde) van Y is 0*1/4 + 1*1/2 + 2*1/4 = 1.
De variantie van Y is (1/4)*(1-0)² + (1/2)*(1-1)² + (1/4)*(2-1)².

Telt u alles zorgvuldig na?

Dan nog X+Y. Hiervoor hebben we respectievelijk de volgende mogelijke uitkomsten, elk met kans 1/36:
2 2 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
1 1 1 0 1 1
2 2 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
2 2 2 1 2 2
Dus de kans dat X+Y=2 is 25/36, de kans dat X+Y=1 is 10/36, en de kans dat X+Y=0 is 1/36.
Dit kan men ook beredeneren: X+Y is 0 alleen als beide dobbelstenen 4 ogen geven, de kans daarop is (1/6)*(1/6) = 1/36;
X+Y is 2 als geen van beide dobbelstenen 4 geeft, de kans daarop is (5/6)*(5/6) = 25/36;
de kans op X+Y=1 is dan 1-25/36-1/36 = 10/36.

Over de tweede vraag hebt u blijkbaar niet lang nagedacht, want hoe zou hier Y=3 kunnen optreden??

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 15 april 2009