De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Limiet en integraal

Hoi Wisfaq,

Laat h gedefinieerd zijn op het interval (0,1/2] door
h(t)=(1/pi·t)-(1/sin(pi·t))

Ik heb aangetoond dat h continu is op [0,1/2] door aan te tonen dat lim h(t)=0 voor t-oneindig en door te definieren h(0)=0.

Ik wil graag aantonen dat h differentieerbaar is op (0,1/2) en dat h'(t) begrensd is.Want ik wil uiteindelijk aantonen dat

lim int[h(t)·sin(B·t)]dt, integraal van 0 tot c met 0c=1/2, en limiet voor B-oneindig.

1.De afgeleide h' is overal gedefinieerd op (0,1/2) en lim h'(t)=-4·pi, voor t-1/2, maar lim h'(t)=0neindig, voor t-0 (ik heb twee maal de regel van l'Hospital gebruikt).Dus h'(t) is differentieerbaar maar niet in de eindpunten.
vraag1.Is dit juist?Of moet de lim voor t-0 eindig zijn?

2.Ik wil aantonen dat |h'(t)|=M, voor alle t in (0,1/2)(of (0,1/2]?), en M0.(Sorry voor de vele haakjes!)
|[pi/((t2)·(sin(pi·t))2)]·[t2·cos(pi·t)-(sin(pi·t))2]|
=|pi/((t2)·(sin(pi·t))2)|·|t2·cos(pi·t)-(sin(pi·t))2|

vraag2.Ik begrijp niet hoe ik dit goed moet afschatten.

3.int[h(t)sin(Bt)]dt=[(-1/B)h(t)cos(Bt)]+(1/B)int[h'(t)sin(Bt)]dt. Nu ga ik deze integraal afschatten:

vraag3.Waarom kan je nu al niet de limiet nemen voor B- oneindig?Waarom moet alles eerst afgeschat worden?

|(-1/B)h(t)cos(Bt)| voor t van 0 naar c is gelijk aan
|(1/B)h(c)cos(Bc)|=(1/B)h1/2cos(B/2)
en
|int[h'(t)sin(Bt)]dt|=int[|h'(t)|·|sin(Bt)|]dt
=M·int[|sin(Bt)|]dt=M·(c-0)=M/2, want |sin(Bt)|=1 en c=1/2.

En nu B-oneindig?

Groeten,

Viky

Viky
Student hbo - donderdag 12 maart 2009

Antwoord

Viky,
Je wilt,denk ik,aantonen dat lim (b®¥)òg(t)sin(bt)/tdt=
1/2pg(0+), t van 0 naar c.Nu is g(t)=th(t)=1/p-t/sinpt.Je kunt nu laten zien dat
g(0+)bestaat en dat g '(0+) bestaat.Beide zijn namelijk gelijk aan 0.Je kunt nu aantonen dat de oneigenlijke integraal
ò(g(t)-g(0+))/tdt,met ondergrens 0+ en bovengrens c,absoluut convergent is.De stelling van Dini zegt nu dat hieruit de juistheid van de eerstgenoemde limiet volgt.

kn
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 12 maart 2009



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3