De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Taylorreeksen

Wat is het verband tussen Taylorveelterm en Taylorreeks en de stelling van Taylor?

leen
3de graad ASO - woensdag 11 maart 2009

Antwoord

Beste Leen,

We vertrekken van een functie f die we voldoende vaak afleidbaar (differentieerbaar) veronderstellen (dit is geen probleem voor "brave functies"). We kunnen voor f dan volgende veelterm opstellen:

f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)2/2 + f'''(a)(x-a)3/3! + ... + f(n)(a)(x-a)n/n!

Als f(n)(a) niet 0 is, hebben we hierboven een veelterm van graad n. We noemen deze veelterm een Taylorveelterm van graad n, ik noteer deze Tn(x).

In het algemeen, dus voor een willekeurige functie, zal de functie f(x) waarvan we vertrokken, verschillen van Tn(x). Het verschil tussen deze twee, noemen we de restterm:

rn(x) = f(x) - Tn(x)

Het is mogelijk om voor deze restterm een formule op te stellen en de stelling van Taylor vertelt ons precies hoe die restterm eruit zien en voor welke functies dit mogelijk is. Die restterm komt ook in verschillende gedaantes, zoals die van "Lagrange", "Cauchy" of "Liouville".

Wanneer we de n van Tn(x) naar oneindig laten gaan, bekomen we de Taylorreeks. Indien de restterm rn(x) naar 0 gaat voor n naar oneindig, zal de Taylorreeks in dat punt x dus samenvallen met de oorspronkelijke functie f, we zeggen dat Tn(x) convergeert naar f(x) voor deze x-waarde.

Achteraf beschouwd kunnen we een Taylorveelterm dus ook zien als een 'afgekapte' Taylorreeks, waarbij we slechts een eindig aantal termen in plaats van een oneindig aantal gebruiken.

mvg,
Tom

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 12 maart 2009



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3