WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Het Willem Ruis probleem

L.S.

Ik ben Ima Stokvis en ik heb een vraag.
Dit is een vraag over het Willem Ruis probleem, ook wel drie deuren probleem. Ik moet aanstaande maandag mijn praktische opdracht inleveren die hier over gaat, een van mijn deelvragen is "Hoe kan dit spel zo’n “onlogische” kansverdeling hebben?"
Mijn uitleg (een deel hiervan) is als volgt:
Stel dat achter deur 1 de prijs zit
Bij elke deur kan je besluiten om te wisselen of om niet te wisselen. Ik ga nu de mogenlijkheden even op een rijtje zetten.

1. De kandidaat kiest deur 1. Presentator opent deur 2 (of 3, maakt in dit geval niet uit want achter beide deuren zit geen prijs) en de kandidaat switcht niet. De kandidaat heeft een prijs gewonnen.
2. De kandidaat kiest deur 1 en switcht wel. De kandidaat heeft in dit geval dan zeker geen prijs gewonnen.
3. De kandidaat kiest deur 2. De presentator opent sowieso deur 3, want alleen daar achter zit geen prijs. De kandidaat switcht niet en heeft geen prijs.
4. De kandidaat kiest deur 2. De presentator opent deur 3 en de kandidaat switcht wel en wint de prijs (want de kandidaat heeft door het switchen gekozen voor deur 1 en achter deur 1 zat de prijs.)
5. De kandidaat kiest deur 3. De presentator opent deur 2 want daar achter zit geen prijs. De kandidaat switcht niet en wint geen prijs.
6. De kandidaat kiest voor deur 3. De presentator opent deur 2. Vervolgens switcht de kandidaat wel en wint daarmee dus de prijs.

In een geval was het dus verstandig om niet te switchen, in de andere gevallen won de kandidaat een prijs als hij of zij switchte en geen prijs als hij/zij niet switchte. Dit was dus bij vier van de zes mogenlijkheden het geval en 4/6=2/3. Maar als ik het zou houden op 4/6 dan zou ik dingen dubbel tellen, want mogenlijkheid 3=mogenlijkheid 4. Want als de kandidaat niet switcht en geen prijs heeft, heeft de kandidaat automatisch bij wel switchen wel een prijs want het zijn drie deuren.
Dus om het niet dubbel te tellen, bij de drie deuren was het twee keer goed om te switchen en een keer niet.

Maar dat heeft eigenlijk nog niet mijn deelvraag beantwoord. Mijn vraag aan jullie luidt dus hoe KAN het? Want ik heb het hele internet al afgezocht en heb o.a dit gevonden:

":: Een bewijs van de realiteit::

Een wiskundig bewijs wordt in dit geval geleverd met een kansboom. Voordat we de kansboom doorlopen, spreken we eerst af dat de prijs achter een bepaalde deur zit. Dit mag A, B of C zijn, dat maakt niet uit. Voor alle drie gevallen kunnen we de kansboom doorlopen en levert dit hetzelfde resultaat. We spreken af dat de prijs achter deur C zit!

Er zijn drie mogelijkheden: de kandidaat/finalist kiest deur A, B of C. Voor het gemak noemen de kandidaat Henk. Het spreekt voor zich dat Henk net zo goed Femke of Janneke had mogen heten. Veder hebben we te maken me een assistente. Laten we haar Marjolein noemen.

Kandidaat Henk
/ | \
/ | \
/ | \
A B C

- Als Henk deur A kiest, welke deur maakt de alwetende assistente Marjolein dan open?
Dit is deur B. Marjolein weet immers dat de prijs achter deur C zit en zal die deur dus niet open maken.
- Als Henk deur B kiest, welke deur maakt Marjolein dan open?
Dit is deur A vanwege de zelfde reden.
- Als Henk deur C kiest, welke deur maakt Marjolein dan open?
Dit is deur A of deur B. Dat maakt niet uit.

In alle drie gevallen heeft Henk twee keuzes:
Vasthouden of Wisselen. We vullen dit in de kansboom in:

Kandidaat Henk
/ | \
/ | \
/ | \
A B C
/ \ / \ / \
V W V W V W

Er zijn nu zes verschillende mogelijkheden:
1. Henk kiest deur A, gaat vasthouden en blijft dus bij deur A.
2. Henk kiest deur A, gaat wisselen en wisselt dan naar C (omdat Marjolein deur B opent)
3. Henk kiest deur B, gaat vasthouden en blijft dus bij deur B.
4. Henk kiest deur B, gaat wisselen en wisselt dan naar C (omdat Marjolein deur A opent)
5. Henk kiest deur C, gaat vasthouden en blijft dus bij deur C.
6. Henk kiest deur C, gaat wisselen en wisselt dan naar A of B (dit hangt er vanaf welke deur Marjolein opent).

De kansboom ziet er dan uiteindelijk zo uit:

Kandidaat Henk
/ | \
/ | \
/ | \
A B C
/ \ / \ / \
V W V W V W
| | | | | |
A C B C C A/B

In deze kansboom staat het wiskundige bewijs dat er een 2/3 kans is op de prijs bij wisselen en 1/3 kans op een prijs bij vasthouden. Dit haal je als volgt uit de kansboom:

- Ga na wat er in de drie gevallen gebeurt als Henk gaat vasthouden en beredeneer of Henk dan een prijs heeft:
1. Als Henk deur A kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? NEE!
2. Als Henk deur B kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? NEE!
3. Als Henk deur C kiest en deze vasthoudt, heeft hij dan prijs? JA!

Ga nu na wat er in de drie gevallen gebeurt als Henk wisselt:
1. Als Henk deur A kies en wisselt, heeft hij dan prijs? JA!
2. Als Henk deur B kies en wisselt, heeft hij dan prijs? JA!
3. Als Henk deur C kies en wisselt, heeft hij dan prijs? NEE! "

Maar ik snap niet hoe zij hier dan bewijzen dat het 2/3 is. Sorry voor als deze moeite dat jullie dit moeten lezen enzo. Maar ik snap het ECHT niettt. En ik moet hier toch zeer zeker wel antwoord op kunnen geven. Want ik heb nu wel verteld hoe het zit enzo, maar niet WAAROM dit het geval is en HOE dit kan. Want ik snap niet hoe ze opeens zeggen (dat wat ik van die site had gekopieerd) dat het dus 2/3 is. De paar laatste stappen begrijp ik gewoon niet. Ik zou het echt super op prijs stellen als u mijn vraag kunt beantwoorden.

Met vriendelijke groeten en bij voorbaat dank,

Ima
Ima
Leerling bovenbouw havo-vwo - dinsdag 30 december 2008

Antwoord

Ik denk dat het duidelijker is als je een kansboom maakt voor vasthouden, en een aparte voor wisselen. Zoals je zelf al constateert, heb je geen kansverdeling tussen wisselen en vasthouden.

De kansboom voor vasthouden is dan eenvoudig (we gaan er nog steeds van uit dat de prijs achter deur C zit).

/A (1/3 kans, geen prijs)
V-B (1/3 kans, geen prijs)
\C (1/3 kans, wel prijs)
Als je wisselt, heb je dus 1/3 kans op prijs.

Kan je nu zelf ook de kansboom maken voor het wisselen? Hier komt dan die 2/3 uit, wanneer je alle kansen voor geen prijs bij elkaar optelt.

Let op, dat als je een vertakking hebt, dat beide mogelijkheden in dit geval dezelfde waarschijnlijkheid hebben. Dus, wissel je van C naar A of B, dan zijn beide even waarschijnlijk.

Succes!

Bernhard

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 30 december 2008