WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Derde graadsvergelijking

Beste mensen,
Hoe toon je aan dat voor het oplossen van een derdegraads vergelijkging het kwadratische deel niet noodzakelijk is?
Is het een voldoende bewijs als ik de vorm
x³ + a·x² + b·x + c = 0 omzet in (door subtitutie) de vorm y³+ p·y + q = 0 ?
Als dit niet zo is, hoe zou ik het dan moeten aantonen?
Alvast bedankt.
bobby
bobby
Student hbo - donderdag 4 december 2008

Antwoord

Beste Bobby,

Ik meen dat zelfs een bewijs niet noodzakelijk is.
Door de (handige) substitutie van:
x = z - a/3
gaat de vergelijking over in een andere vergelijking, waarvan het aantal wortels (z) overeenkomt met het aantal wortels (x) van de eerste vergelijking. En dat aantal is hier belangrijk!
Door die substitutie verdwijnt de term met x². Maar de wortels x kunnen vanwege die substitutie 'eenvoudig' uit de wortels z worden teruggevonden.

Kijk eens naar een simpeler voorbeeld: x² - 3x - 4 = 0.
Door de substitutie x = y - 1 verdwijnt hier de 'bekende' term (-4):
(y - 1)² - 3(y - 1) - 4 = 0
y² - 5y = 0
y = 0, y = 5 geeft dan (zie de substitutie) x = -1, x = 4

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 4 december 2008