WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Convergerende of divergerende integraal

Dit is een reactie op vraag 56180

Hallo,

Sorry, maar ik snap het nog steeds niet helemaal. Is het trouwens niet zo dat cos(x²+1)/x²¹/₂x² in plaats van ? En convergeert 1/(2x²) dan rond de oorsprong of niet?

En als je moet zeggen of een bepaalde functie convergeert of divergeert op ¥, kijk je toch of de functie op ¥een limiet nadert of juist niet. Waarom kijk je nu dan naar de oorsprong?
Tine A
Student universiteit - vrijdag 1 augustus 2008

Antwoord

Beste Tine,

Enkele voorbeelden om op je laatste vraag in te gaan:
- de integraal van 1/x met x van c tot +¥ divergeert voor elke c,
- de integraal van 1/x² met x van c tot +¥ convergeert voor c0 maar divergeert als c=0.
Zo zie je dat de convergentie van een integraal, geïntegreerd tot +¥, niet alleen afhangt van het gedrag op +¥. Je moet ook naar singuliere punten kijken, dit maakt van de integraal ook een oneigenlijke integraal.

Bij jouw opgave is het 'probleem' hetzelfde als bij 1/x²: de functie wordt snel genoeg klein om te convergeren op oneindig, maar het punt x=0 strooit roet in het eten.

Wat de zin van die afschatting betreft: om convergentie aan te tonen zoek je een convergente majorant (naar boven afschatten), om divergentie aan te tonen een divergente minorant (naar onder afschatten).

Omdat cos(1+x²) (voldoende dicht) rond x=0 kleiner groter is dan 1/2, geldt: cos(1+x²) 1/2 Þ cos(1+x²)/x² 1/(2x²)

Voor de convergentie van die laatste integraal, onderzoek wat de oneigenlijke integraal voor x van 0 tot e0 van 1/(2x²) doet.

mvg,
Tom

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 1 augustus 2008

Re: Re: Re: Convergerende of divergerende integraal