WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Formule met parameter

Hallo,

ik wou graag weten wat er fout is aan mijn uitwerking van de volgende opgave (van een CD toets)

2 a) Zij y = ax² + bx + c een parabool die door de punten (1,0) en (0, -2) gaat.
Als bovendien gegeven is dat de raaklijn aan de parabool in het punt (1,0) horizontaal loopt bepaal de waarden van a,b,c.
b)
Laten A en B twee willekeurige verschillende punten zijn op de parabool y= x². Laat zien dat de raaklijnen aan de parabool in de punten A en B elkaar snijden in het punt waarvan de x-coordinaat preceis in het midden ligt van de x-coordinaten van de punten A en B

mijn uitwerking is:

-2 = a.0²+b.0 +c
c=-2

y'(x)= y(x) - ypunt/ x - xpunt ik gebruik het punt 1,0 die op de parabool ligt (is het zelfde als het punt van de raaklijn, het is toeval dat ze het zelfde zijn anders wist ik niet welke ik moest nemen)
dus

2a.0 + b = a.0² + b.0 - 2 - 2 / x - 0

geeft

b = -4/x
y = ax²+bx+c
dus het is -4x^-1 . x = -4x (toch?)

formule tot zo ver is dus :
y=ax²-4x-2
punt (1,0) op de palabool gebruiken
0=a.1²-4.1-2
0=a-4-2
a-6=0
a=6

y=6x²-4x-2

b)
bij b tekende ik dit:
http://img183.imageshack.us/my.php?image=88036828km4.jpg

hopelijk kunnen jullie mij de juisten uitwerking laten zien en waar ik de mist ben ingegaan.

Alvast bedankt,

dennis
Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 13 juni 2008

Antwoord

Hallo

a)
De berekening van c is juist : c=-2

Zo weet je ook dat (want het punt (1,0) ligt ook op de parabool) :
0 = a.1² + b.1 +c
0 = a + b - 2
a + b = 2

In het punt (1,0) is de raaklijn horizontaal, dit wil zeggen dat de afgeleide y'(x) gelijk is aan 0 voor x = 1.
y'(x) = 2ax + b
Dus:
y'(1) = 0
2a.1 + b = 0
2a + b = 0

Uit deze twee vergelijkingen kun je nu a en b bepalen.
(Je vindt : y = -2x²+4x-2)

b)
Stel punt A(x₁,y₁) = A(x₁,x₁²) want A ligt op de parabool y = x².

Vermits y'(x) = 2x, is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het punt A gelijk aan 2x₁

De vergelijking van de raaklijn in het punt A is dus :
y - x₁² = 2x₁.(x - x₁)

Stel punt B(x₂,y₂).
Stel nu op dezelfde manier de vergelijking op van de raaklijn in het punt B.

Bepaal de x-coördinaat van hun snijpunt en je zult vaststellen deze x-waarde het midden is van de x-coördinaten van de punten A en B.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 13 juni 2008