WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Expliciet voorschrift

Beste ,

Ik heb een vraagje over het opstellen van een expliciet voorschrift.

De opdracht is als volgt: In een klein bos staan 4000 aangeplante bomen. Elk jaar kapt men 20 procent van de bomen en plant men er 1000nieuwe.
De vraag is nu bepaal het expliciet voorschrift?
Ik heb al reeds het recursief voorschrift bepaald dat is namelijk Un=0.8U(n-1)+1000 met U1= 4200
Ik weet nou zie zo goed hoe ik moet beginnen om het expliciet voorschrift te bepalen!

Met vriendelijke groeten

fréder
3de graad ASO - donderdag 3 april 2008

Antwoord

Ik weet niet hoe jullie dat moeten doen, maar hier zijn wat handvaten.
Op het moment dat 20% van de bomen gelijk is aan 1000 zal het aantal bomen niet meer veranderen. Dit is zo als 0.2u(n)=1000 dus als u(n)=5000.
Je kunt nu u(n) schrijven als 5000-v(n).
Maken we nu even een tabelletje voor u(n) en v(n) voor de eerste 5 jaar dan krijgen we:
 
n    u(n)  v(n) 
---------------- 
0   4000   1000 
1   4200    800 
2   4360    640 
3   4488    512 
4   4590,4  409,6 
5   4672,32 327,68 
Als je nu even goed kijkt dan is v(n)=1000*0,8ⁿ.
Dus u(n)=5000-1000*0,8ⁿ

In het algemeen geldt voor een recursievergelijking van de vorm
u(n)=a*u(n-1)+b met beginwaarde u(0) dat
u(n)=U+aⁿ(u(0)-U) met U=b/(1-a)
In jouw geval: u(0)=4000, a=0,8 en b=1000.
Dus U=1000/(1-0,8)=5000
u(0)-U=4000-5000=-1000, dus de formule wordt:
u(n)=5000-1000*0,8ⁿ

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 3 april 2008