WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Zesde graadsvergelijking

Dag wisfaq team,
Volgende vergelijking oplossen:

(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)=720 (1)
Er zijn maar 2 oplossingen en niet meer dan twee.
Bewijs !
OPLOSSING zoals ik ze zie .....
Ik heb wat gerekend en bekwam volgende oplossingen. Uitwerking van (1) geeft:
(x²-3x+2)(x²-7x+12)(x²-11x+30-720=0
Uitwerken gaf volgende 6de -graadsvergelijking.

x⁶-11x⁵+30x⁴-10x⁵+110x⁴-300x³+35x⁴-385x³+1050x²-50x³+550x²-1500x+24x³-264x+720-720=0

en na herschikken en optellen van gelijksoortige termen:

x⁶-21x⁵+175x⁴-735x³+1624x²-1764=0

Ui (1) zien we al vlug dat ,met de reststelling f(0)=720=6! (zes faculteit)een eerste oplossing is.
Na wat zoeken vond ik met de regel van Horner dat x=7 ook een oplossing is van (1)

1 -21 175 -735 1624 -1764

7 7 -98 539 -1372 1764
--------------------------------------------
1 -14 77 -196 252 0

We bekomen nu x(x-7)(x⁴-14x³+77x²-196x+252)=0

Er zijn dus 2 oplossingen : Ö(x)=[(0 ;7)]
Bij de resterende vierdegraadsvergelijking heb ik de delers nagezien van 252, zijnde 2,7,3 uit
252|2
126|2
63|7
9|3
3|3
1

Toepassing van de reststelling of Horner geeft geen nulresten voor 2, 7 en 3 .
Is dit voldoende als antwoord en bewijs dat er maar 2 valabele oplossingen zijn , te weten : 0 en 2 ?
Of moet ik nog verder "graven" in het probleem?
Vriendelijke groeten,

Rik Le
Ouder - zaterdag 19 januari 2008

Antwoord

Je hebt nu laten zien dat 0 en 7 de enige rationale oplossingen zijn; nu nog de rest van de reële getallen uitsluiten. Dat kan door afschatten:
als x=0 dan is de vierdegraadsfactor ten minste 252, dus nooit nul
als x=14 dan geldt weer dat die factor ten minste 252 is
op het interval [0,14] kun je bij voorbeeld naar de tweede afgeleide van die factor kijken, die is positief, dus de afgeleide is strict stijgend, dus de functie heeft precies één minimum. De afgeleide is negatief in 3 en positief in 4; het minimum ligt dus tussen 3 en 4. Een schets van de grafiek laat zien dat dat miminum groter dan 50 is. Er zijn dus geen reële nulpunten.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 19 januari 2008

Re: Zesde graadsvergelijking