WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Substitutie

Ik heb hier nog een paar vraagjes waar ik niet uitkom... Zouden jullie mij misschien opweg kunnen helpen?

1. òdx/(xlnx)
2. ò(2tgxsec²x)/(1+tg²x)dx
3. ò(tgÖ(x))/(Ö(x))dx

Heel erg bedankt!
Lien
Student universiteit België - maandag 3 december 2007

Antwoord

Dag Lien,

Inderdaad, je hebt substituties nodig hier... Als je dat wil toepassen zal je bijna altijd de nieuwe variabele, u, gelijk moeten stellen aan een functie van x die ook al in je integraal voorkomt. Bovendien is het ook mooi meegenomen als du (wat dus een functie van x, maal dx is) ook min of meer in de integraal voorkomt.

Voorbeeld: bij je eerste oefening zou je u = lnx kunnen stellen, want je ziet een lnx in de opgave staan, en je weet dat dan du = dx/x, en je ziet ook een dx/x in de opgave.

Bij de tweede kan je eerst de opgave vereenvoudigen: gebruik dat tgx=sinx/cosx en sec²x=1/cos²x en 1+tg²x=1+sin²x/cos²x=(cos²x+sin²x)/cos²x=1/cos²x. Wat overblijft is al veel eenvoudiger, een simpele substitutie u=cosx of u=sinx zal dan wel werken.

De derde: de tangens van x zou je kunnen integreren, de tangens van Öx is lastiger. Dus stel u=Öx, want dan krijg je tg(u), dat werkt veel makkelijker. En hoop dan maar dat de rest ook wat eenvoudiger wordt, en inderdaad: du=1/2 dx/Öx dus je blijft over met ò2tg(x)dx, en na die tweede opgave zal dat wel lukken

Algemeen is het zo dat je in het begin zelden meteen de juiste oplossingsmethode zal vinden voor een integraal... Dus je zal vooral veel moeten proberen: voer substituties door die zinvol zouden kunnen zijn omdat je 'u' en 'du' al min of meer in de opgave staan; of probeer de opgave zelf te vereenvoudigen (vooral bij goniometrische opgaven: schrijf alles om naar cosinussen en sinussen); of grijp naar andere technieken (die je misschien nog niet gezien hebt): partiële integratie of t-formules bijvoorbeeld... En vooral: oefen veel, want berekenen van integralen is echt wel een onderdeel van wiskunde waarop 'oefening baart kunst' van toepassing is!

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 4 december 2007