WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Continuitiet van van epsilon en delta definitie

goeiendag,
ik heb continuitiet geleerd van delta en epsilon functie,
maar ik snap het eigenlijk niet.
vb. je hebt de functie f(x)=x³ en je moet dat doen m.b.v. de basisomgeving en we hebben de eigenlijke defintitie gezien die luidt als volgt: Voor alle y element van Basisomgeving van f(a) bestaat er een x element van Basisomgeving f(x)zit in verzameling y..Ik versta dit niet zo goed.
Alvast Bedankt
zagie
3de graad ASO - vrijdag 9 november 2007

Antwoord

Even kijken.

Je wilt (neem ik aan) bewijzen dat de functie f(x) = x³ continu is?

Een functie f is continu in x=a wanneer er voor elke omgeving V van f(a) een omgeving U van a is zdd f(U) Ì V. Anders gezegd, voor elke e is eeen d zdd voor elke x met |x-a| d geldt |f(x)-f(a)| e

Een functie f is continu als hij continu is voor elke a.

Twee voorbeeldjes: De functie f(x) = 1 is vanzelfsprekend continu. Immers iedere omgeving van elk getal wordt afgebeeld op de verzameling {1}. En die is weer een deelverzameling van elke omgeving van 1.
De (stap)functie f met f(x) = 0 voor x0 en f(x)=1 voor x0 is niet continu (in x = 0). Immers, f(0)=1, maar iedere omgeving van 0 wordt nu afgebeeld op de verzameling {0,1}. En dat is niet altijd een deelverzameling van een omgeving van 1. Om precies te zijn: voor e=1 kun je geen d vinden. Want, welke d je ook neemt er is altijd een x met |x-0|d zdd f(x)=0. Die x heeft |f(x)-f(0)|=|0-1|=1 en dat is niet e.

Ik hoop dat dit de definitie een beetje verduidelijkt? Bij f(x) = x³ heb je dit probleem niet. Neem a¹0.
Eerst bekijk je dit: |(a+u)³-a³|=|3a²u+3au²+u³|
als nu |u| |a| geldt vervolgens: ... |7a²u| = |7a²||u|
Heb je nu een e dan kies je d = min(|a|,e/|7a²|)
Voor elke x met |x-a|d geldt: x = a+u met |u|d
En dus: |f(x)-f(a)| = |(a+u)³-a³||7a²|de
Dus is f(x) inderdaad continu voor x=a voor alle a¹0
De continuiteit in x=0 moet je apart bewijzen.

Neem eerst maar eens het punt x=a. f(a) = a³.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 9 november 2007