WisFaq!

To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

jsMath

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

\require{AMSmath}

Veelterm deelbaar door een natuurlijkgetal getal

hoe kan ik aantonen dat een bepaalde veelterm deelbaar is door een natuurlijk getal? Er is een stelling die zegt dat een getal m deelbaar is door een getal n wanneer men dit getal m kan schrijven als m=k·n waarbij k een geheel getal moet zijn. Ik moet aantonen dat n³+(n+1)³+(n+2)³ deelbaar is door 9. Als ik dit uitwerk naar k dan kom ik 1/3n³+n²+5/3n+1 uit, wat voor elke n Î een natuurlijk getal oplevert(en dus ook een geheel). Maar in deze veelterm zitten breuken en niet elke breuk is een geheel getal, ook al kom ik voor elke n een natuurlijk getal uit. Ben ik verkeerd bezig of hoe kan ik aantonen dat deze veelterm altijd een geheel getal oplevert?
Frékes
Student Hoger Onderwijs België - donderdag 4 oktober 2007

Antwoord

Beste Frékes,
De stelling die u noemt is geen stelling maar een definitie.
De "veelterm" n³+(n+1)³+(n+2)³ is voor een gegeven natuurlijk getal n een getal, waarvan we moeten aantonen dat het deelbaar is door 9, ongeacht de waarde van n.
Uitwerken levert 3n³+9n²+15n+9, dus je moet inderdaad bewijzen dat n³/3+n²+5n/3+1 altijd een geheel getal is.
Dit is waar dan en alleen dan als n³/3+5n/3 altijd een geheel getal is, dus dan en alleen dan als n³+5n altijd deelbaar is door 3.
Welnu, n³+5n = n(n²+5).
Er zijn drie mogelijkheden:
1) n is zelf een drievoud, dus n=3s voor zeker geheel getal s. Dan is n(n²+5) = 3s(n²+5) = 3t waarbij t=s(n²+5) een geheel getal is;
2) n is een drievoud + 1, dus n=3s+1 voor zeker geheel getal s. Dan is n(n²+5) = n(9s²+6s+6) = 3u waarbij u=n(3s²+2s+2) een geheel getal is;
3) n is een drievoud + 2, dus n=3s+2 voor zeker geheel getal s. Werk dit geval zelf maar verder uit naar analogie met het vorige geval.
Vragen zijn altijd welkom. Succes.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 4 oktober 2007