WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Een hogeregraadsvergelijking

Dit is een reactie op vraag 52097

Oké, ik zal proberen hoe ver ik kom...
0,5x³-2x²-4x+8=-0,5x³+2x²-8
0,5x³+0,5x³-2x²-2x²-4x+8+8=0
x³-4x²-4x+16=0
Na proberen is x=2 een mogelijkheid.
Maar wat heb ik er dan aan, nadat ik weet dat x=2 een oplossing van de waarschijnlijk meerdere oplossing is, om deze derdegraadvergelijking te splitsen in een eerstegraads-en een tweedegraadvergelijking? Hier loop ik dus weer vast...

Groetjes,
Linda.
Linda
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 16 september 2007

Antwoord

Beste Linda,

OK. x=2 is een oplossing. Dat betekent dat je je derdegraadsvergelijking ook kunt schrijven als (x-2)(ax²+bx+c)=0. De waardes van a, b, en c moet je nog bepalen. Dat doe je met de staartdeling. Als je ze hebt kun je de vergelijking verder oplossen.

Maar goed. De uitleg die ik stuurde bevat inderdaad een oude notatie die je waarschijnlijk niet bekend voorkomt. Ik zal eens proberen het op een andere manier uit te leggen.

Eerst herhalen we even de staardeling met getallen. Een opgave is b.v. 315:7. Oftwijl: hoe vaak past 7 in 315? Dat doe je niet in één keer. Je zoek eerst een makkelijker getal in de buurt. B.v. 280:7=40. Je weet dan dat de 7 precies 40 keer in 280 past. Het mooie is dat je nu alleen nog maar hoeft te kijken hoe vaak 7 past in de rest: 315-280=35. Dat past 5 keer (35:7=5). In totaal past 7 dus 40+5=45 keer in 315. Het antwoord is 315:7=45.

Herken je dit? Misschien heb ik een beetje te veel gekletst.
Je kunt het alsvolgt noteren:
opg.: 315 : 7
doen: 280 : 7 = 40
rest: 315-280=35
doen: 35 : 7 = 5
rest: 0
antwoord: 40+5 = 45

De truuk is in ieder geval dat je eerst een handig getal in de buurt kunt delen en vervolgens de rest. Dat werkt precies hetzelfde bij een hogeregraads functie.

Voorbeeld: x³+2x²-5x-6 = 0
Door invullen zie je dat x=2 een oplossing is.
Dan weet je dat je de vergelijking kunt schrijven als: (x-2)(ax²+bx+c)=0
Oftewijl: Er zijn a, b en c zodat: x³+2x²-5x-6=(x-2)(ax²+bx+c)

Deze berekening doe je op dezelfde manier als de staartdeling. Je doet het niet ineens, maar je zoekt een handige functie waar je x-2 makkelijk buiten haakjes kunt halen
Dat doe je door naar de hoogste macht te kijken. De x³ krijg je namelijk alleen door x (uit het eerste deel) te vermenigvuldigen met ax² (uit het tweede deel). Omdat er geen getal voor x³ staat, is er maar één moglijkheid: a=1
Reken even uit: (x-2)x² = x³-2x². Dat is dus een handige derdegraadsfunctie waar je (x-2) buiten haakjes kunt halen (dat heb je al gedaan). Daarna ga je verder met de rest.

Daar gaat ie:

Stap1: Bepaal a als x³+2x²-5x-6 = (x-2)(ax²+bx+c)
De x³ krijg je door x met ax² te vermenigvuldigen. Dus: a=1
doen: (x-2)x² = x³-2x²
rest: (x³+2x²-5x-6) - (x³-2x²) = 4x²-5x-6
Opmerking: Het mooie is dat de x³ nu verdwenen is.
Je kunt de rest nu proberen te schrijven als: 4x²-5x-6 = (x-2)(bx+c)
De waarde van b kun je weer bepalen door naar de term met de hoogste macht te kijken. Dat is 4x²

Stap 2: Bepaal b als 4x²-5x-6 = (x-2)(bx+c)
De 4x² krijg je door x met bx te vermenigvuldigen. Dus: b=4
doen: (x-2)4x = 4x²-8x
rest: (4x²-5x-6) - (4x²-8x) = 3x-6

Stap 3: Bepaal c als 3x-6 = (x-2)(c)
Nu zie je makkelijk: c=3
doen: (x-2)3=3x-6
rest: (3-6) - (3x-6) = 0

Er blijft dus inderdaad niets over. We hebben: a=1, b=4 en c=3
Dus: x³+2x²-5x-6=(x-2)(x²+4x+3)
De vergelijking wordt: (x-2)(x²+4x+3)=0
Er zijn twee mogelijkheden: x=2 (dat wist je al)
Of: x²+4x+3 = 0.
Die laatste geeft nog twee oplossingen (die kun je makkelijk zelf berekenen)
In totaal heb je er dan drie.

Je ziet dat stap 2 en 3 eigenlijk hetzelfde zijn als stap 1.
Je kunt steeds het eerste getal kunt bepalen
In de rest dan wordt de graad steeds ééntje lager.
Je kunt de staartdeling dan ook voor alle hogeregraadsfuncties gebruiken.

Nu jij. Deze methode werkt ook voor jou opgave. Misschien heb ik een beetje te veel geschreven. Maar je moet het gewoon proberen. Laat eens zien of je er nu uitkomt.

Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 17 september 2007