WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Differentiaalvergelijking orde 2 - Stap voor stap aub

Hoi. Ik zit hier al uren te klooien aan een opgave waarvan ik de oplossing wel heb, maar ik heb geen flauw idee hoe ik van opgave naar oplossing moet geraken. Ik denk dat ik de methode voor diff.vgln. orde 2 niet doorheb.
Een degelijk handboek heb ik niet voorhanden, want ik ben me nu aan het voorbereiden op de terugkeer naar de univ na 13 jaar niet-studeren. Oude schoolboeken al lang de deur uit, en Google levert te weinig duidelijkheid.

Het zou geweldig zijn mocht iemand me de weg stap voor stap kunnen tonen.

De opgave is:
Zoek x in functie van t (m,k,A zijn constanten):
m·d²x/dt²=-kx als x(0)=A en x'(0)=B

De oplossing zou moeten zijn:
x(t)=Ö[a²+(B/w)²]·cos[w·t-bgtg(B/(A·w))]

Dus hoe geraak je nou van de opgave naar de oplossing? Graag stapje per stapje en zo eenvoudig mogelijk uitgedrukt

Alvast bedankt!

Veerle
Student universiteit België - woensdag 29 augustus 2007

Antwoord

De differentiaalvergelijking laat zich schrijven als d²x/dt²=-k/m x=-getal*x

Zoals je hopelijk weet is de afgeleide van cos(x) gelijk aan -sin(x), en de afgeleide van sin(x) gelijk aan cos(x).
Meer in het bijzonder (met behulp van de kettingregel) is de afgeleide van cos(kx) gelijk aan -ksin(kx) en de afgeleide van sin(kx) gelijk aan ksin(kx)

Bekijken we nu de functie x(t)=psin(wt)+qcos(wt) dan is de afgeleide x' van deze functie x'(t)=wpcos(wt)-wqsin(wt).
De afgeleide van deze afgeleide x''(t) is dan x''(t)=-w²psin(wt)-w²qcos(wt)=-w²(psin(wt)+qcos(wt))=-w²x

Dus voor onze functie f geldt d²x/dt²=-w²x, waaruit volgt dat onze functie x een oplossing is van de gegeven differentiaalvergelijking, met w=Ö(k/m)
Veronderstellen we x(0)=A dan:
x(0)=psin(0)+qcos(0)=q, dus q=A
Veronderstellen we x'(0)=B
x'(0)=pwcos(0)-qwsin(0)=pw, dus pw=B, dus p=B/w

Een oplossingsfunctie is dus: x(t)=B/wsin(wt)+Acos(wt)

Eventueel, maar dat is niet nodig, kan dit herschreven worden in de vorm r*cos(wt+f).
Dit kan als volgt:
werk r*cos(wt+f) uit tot rcos(wt)cos(f)-rsin(wt)sin(f)
Wie zien dan dat rsin(f)=-B/w en rcos(f)=A

Dus rsin(f)/rcos(f)=tan(f)=-B/(wA) dus f=-arctan(B/(wA))

We zien ook dat (rsin(f))²+(rcos(f))²=r²(sin²(f)+cos²(f))=r²=A²+(B/w)², dus r=Ö(A²+(B/w)²).
Terug invullen van r en f levert de gegeven oplossing.

PS: er komt dus nogal wat goniometrie te pas bij het laatste stuk van de herleiding, terwijl we al een redelijke oplossing hadden van de differentiaalvergelijking als som van een sinus en een cosinus.
Het laatste gedeelte is alleen maar interessant omdat je hiemee laat zien dat je de oplossing kunt schrijven in de vorm a*cos(bt+c). Dat gedeelte heeft dus niet zo veel te maken met het oplossen van differentiaalvergelijkingen.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 29 augustus 2007