De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Middellijnen van een parabool

'kzal mijn vraag even verduidelijken door de tussen stappen van het handboek te gebruiken :

33. Middellijnen van de parabool
a.) teken in de parabool y2 = 2·x een zestal evenwijdige koorden en bepaal hun middens. wat stel je vast ?

b.) bewijs je vermoeden als de koorden evenwijdig zijn met de rechte y = x ( de vergelijking is dan y = x + q)

c.) bewijs de eigenschap algemeen voor de parabool y2 = 2·p·x en de koorden y= m·x + q . waarbij m vast is en q veranderlijk

Ik hoop dat dit meer verduidelijking teweeg brengt in verband met de vraagstelling, ook al weet ik niet wat ze precies bedoelen ...

Benjam
3de graad ASO - zaterdag 2 november 2002

Antwoord

Vraag a.
Verbind de middens van die zes koorden met elkaar.
Wat denk je?
Zouden die middens soms op een rechte lijn liggen?

Voorafgaand aan de beantwoording van vraag b en c.
Uit de vierkantsvergelijking ax2 + bx + c = 0 volgt voor de som x1+x2 van de wortels x1 en x2:
x1 + x2 = (-b) / a
Ga dit na, immers
x1 = (-b + ...) / ... ; x2 = (-b - ...) / ...
En ...
Voor de coordinaten (xm ; ym) van het midden M van een lijnstuk AB met A(a1 ; a2), B(b1 ; b2)
geldt
xm = (a1+b1) /2 ; ym = ...

Vraag b.
We snijden de lijn y = x + q (die lijn is evenwijdig met y = x) met de parabool y2 = 2x.
We vinden dan (door eleminatie van y):
(x + q)2 = 2x
of
x2 + (2q - 2) x + q2 = 0
Voor de som x1 + x2 van de wortels (dat zijn de x-coordinaten van de snijpunten) hebben we dan:
x1 + x2 = 2 - 2q
Voor xm (de x-coordinaat van het midden van de koorde) geldt:
xm = 1 - q
Maar dat midden ligt op de lijn met vergelijking y = x + q
Substitutie van xm geeft dan
ym = (1-q) + q = 1.
De y van het midden van zo'n koorde (bij variabele q) is dus constant.
De middens liggen dus op de lijn y = 1 (een lijn evenwijdig met de hoofdas van de parabool).
Nb.
De meetkundige plaats van de middens van evenwijdige koorden van een kegelsnede (dus ook van een parabool) worden middellijnen van die kegelsnede genoemd.

Vraag c.
Hierin wordt naar een algemeen bewijs gevraagd, uitgaande van de rechte lijn y = mx + q en parabool y2=2px (in vraag b was m = 1 en p = 2).
Op dezelfde manier als in b vinden we dan de vierkantsvergelijking in x:
m2x2 + (2mq - 2p)x + q2 = 0
Dit leidt dan na verdere berekening (analoog aan die bij vraag b) tot:
ym = m . (p - mq)/m2 + q = p /m
En ook hier is (wat we mochten verwachten) ym een constante (immers p en m zijn constant).
Ook nu een lijn evenwijdig met de hoofdas van de parabool.
Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Toelichting
Het punt Q bepaalt in het plaatje de parameter q.
De parameters p (tussen -2½ en +2½) en m (tussen -6 en +6) kunnen eveneens worden gewijzigd.
Het plaatje kan zonodig door de CTRL toets tegelijk met de linker muisknop in te drukken in z'n geheel worden verplaatst.

In het plaatje wordt NIET de waarde van p, maar de waarde van 1/2pweergegeven!

Wie is wie?
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 2 november 2002



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3