WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Vlak van hilbert

Dit is een reactie op vraag 50254

hallo weer,
alvast bedankt voor de moeite! ik dacht bij mezelf dat ik maar beter ineens de volledige tekst geef, en wie weet geraak jij er meer wijs uit dan ik. hier gaat die:

In 1899 construeerde David Hilbert (1862–1943) volgend voorbeeld van
een affien vlak dat niet kan gedefinieerd worden als een affien vlak over
een veld. Beschouw in het (re¨eel) Euclidisch vlak Õ , de ellips E met
vergelijking x2 + 4y2 = 1, en eveneens het punt p( 3
2 , 0). We defini¨eren
nu als volgt een incidentiemeetkunde S = (P,D2, t, I). De punten
(elementen van P0) zijn de punten van Õ. Er zijn 2 soorten rechten
(elementen van P1). Enerzijds zijn er de rechten van de soort (a), het
zijn de rechten van die E raken of met E geen enkel punt gemeen
hebben. Anderzijds zijn er de rechten van de soort (b), het zijn de
rechten die E in 2 verschillende punten r en s snijden, maar waarbij
het lijnstuk [rs] vervangen wordt door de boog rs, binnen E, van de
cirkel door de drie punten r, s en p (als de 3 punten collineair zijn dan
vervangen we het lijnstuk [rs] niet). De incidentie I is de natuurlijke
incidentie 2. Het is niet moeilijk om aan te tonen dat deze meetkunde
een axiomatisch affien vlak is.

groetjes
lmb
Student universiteit België - woensdag 18 april 2007

Antwoord

Hoi lmb?

Ik ben ook geen expert. Van incidenties weet je waarschijnlijk meer dan ik. Maar ik heb wel even gekeken. Zoals je schreef vervangt Hilbert bij lijnen van het soort (b) het stukje binnen de ellips door een cirkelboog. Zie de rode lijn op het plaatje. Ik heb overigens een willekeurige ellips getekent en een willekeurig punt P (rood). Ik heb niet de indruk dat dat veel uitmaakt.

Het idee is dat al die rechten (lijnen van soort (a) en (b)) samen een (axiomatisch) affien vlak vormen. Ik vond wat verschillende axioma's. Maar hetvolgende is (geloof ik) het meest belangrijk:
A1) Bij ieder puntenpaar (x,y) in het vlak is een rechte (R) zdd x en y op R liggen.
A2) Als z niet op R ligt is er een rechte S waar z wel op ligt en die R niet snijdt (die dus evenwijdig aan R genoemd wordt)
( A3) er zijn drie punten x,y en z die niet op één lijn liggen)

Waar het Hilbert mi om gaat (even voor anderen die dit lezen) is dat je het vlak kun vullen met lijnen die duidelijk niet allemaal recht zijn maar die wel de belangrijkste eigenschappen van rechte lijnen hebben.

Er stond dat het niet moeilijk is aan te tonen dat het HilbertVlak aan de axioma's voldoet. Ik vind dat nog wel tegenvallen. Schetsmatig loopt het ongeveer als volgt:

A1) Als x en y beide buiten de ellips liggen volgt uit de eigenschappen van het gewone vlak dat hier een rechte doorheen loopt. Ook als x en y beide binnen de ellips liggen is A1 eenvoudig aan te tonen. Er loopt immers een boog door x, y en P. Die snijdt de ellips op twee plaatsen (dat is overigens nog niet helemaal triviaal). Die snijpunten noem je r en s de lijn daar doorheen geeft de gevraagde rechte.
Het echte aantonen komt als x binnen de ellips ligt en y erbuiten. Nu neem je een punt r op de ellips en de boog door x, r en P. Die snijdt de ellips in een tweede punt (s). Door r en s zo gevonden kun je een lijn trekken. Laat je nu r over de ellips lopen dan bestrijken de zo gevonden lijnen het hele vlak buiten de ellips. Een van die lijnen zal dus door y lopen. Dat is de gezochte lijn.

A2) Alweer schetsmatig. Neem je een rechte van soort (a) (buiten de ellips dus) dan kun je die evenwijdig verschuiven tot hij de ellips raakt. Verschuif je hem nog iets verder dan wordt een deel vervangen door een boog die terug naar de buitenkant van de ellips wijst. Als de rechte (bij verder schuiven) op zeker moment P snijdt wordt de lijn weer recht en wijst (als je hem nog verder schuift) de boog daarna naar de andere buitenkant van de ellips. In ieder geval raakt de lijn op een gegeven moment de andere kant van de ellips en daarna is hij weer van soort (a). Door zo te schuiven bestrijk je het hele vlak. Dus als je een punt x op het vlak neemt (binnen of buiten de ellips) zal één van deze lijnen door het punt x lopen. Dat is het gevraagde punt.

A3) is eenvoudig aan te tonen. Immers er is wel een drietal buiten de ellips te vinden dat hieraan voldoet.

Groet. Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 22 april 2007