WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Wiskundige afleiding van de karakeristieke vergelijking van deze kegelsnede

Wat wordt bedoeld met de karaterestieke vergelijking van de parabool bedoeld. Op internet vindt ik allerlei vergelijkingen en afleidingen van de parabool, maar tussen deze vele kan ik louer een gok wagen.

Kunnen jullie mij iets meer zeggen?

Els Re
3de graad ASO - maandag 12 maart 2007

Antwoord

Dag Els,

Er zijn inderdaad veel manieren om een parabool te beschrijven.
1) De simpelste vergelijking is y = x². Dat is een parabool met als top de oorsprong (het punt (0,0)) die in de y-richting naar boven wijst.
2a) Een andere mogelijkheid is de vergelijking y = 2x². Dat is dezelfde parabool, maar dan wat smaller.
2b) Dat kun je wat algemener maken met de vergelijking y = ax². Hoe groter het getal dat je voor a invult, hoe smaller de parabool. Als je voor a een negatief getal invult krijg je een parabool die naar beneden wijst.
3a) Dit zijn nog wel allemaal parabolen die als top de oorsprong hebben. Als je een parabool wilt hebben die hoger loopt dan gebruik je: y = ax²+b en als je de parabool naar rechts wilt schuiven gebruik je y = a(x-c)²+b.
3b) En die vergelijking kan er dan ook nog wel eens verschillend uitzien. B.v. de vergelijking y=(x-1)²+2 kun je ook schrijven als: y=x²-2x+3
3c) Deze aanpassingen hebben overigens geen effect op de vorm van de parabool. Als je alleen in de vorm geinteresseerd bent en niet in de plek van de parabool dan heb je genoeg aan vergelijking (2).
4) Maar alle parabolen die ik tot nu toe beschreven hebt lopen wel recht omhoog (of omlaag). Je kunt een parabool ook naar links of naar rechts tekenen of schuin. Dan moet je de vergelijking nog verder aanpassen. Als je de parabool van vergelijking (3) over een hoek a draait krijg je de vergelijking (ycosa+xsina) = a(xcosa-ysina-c)²+b. Dat wordt wel een ingewikkelde vergelijking, maar je kunt nog wel zien dat je voor a=0° vergelijking (3) terugkrijgt en voor a=90° een horizontale parabool.

Dit zijn nog (lang) niet alle manieren om een parabool te beschrijven. Wanneer je een parabool als kegelsnede bekijkt krijg je andere vergelijingen. En ook als je de parabool met een brandpunt beschrijft.
Maar, de vorm van de parabool wordt er niet anders door.

Watvoor vergelijking je nodig hebt hangt er dus vanaf wat je precies wilt doen. Voor heel veel is vergelijking (1) als genoeg. Ik hoop dat je hier wat aan hebt.

Groeten,
Oscar

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 17 maart 2007