De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Regelmatige vijfhoek

Hey,

Ik moet bewijzen dat de som van de afstanden van een punt binnen een regelmatige vijfhoek tot de 5 zijden constant is en vind een uitdrukking voor die constante in functie van de straal van de omgeschreven cirkel,

Hoe moet ik dit doen?

Alvast bedankt,

Jeroen
3de graad ASO - woensdag 14 februari 2007

Antwoord

Als P het bedoelde punt is, verbind P dan eens met de eindpunten van een zijde z van de regelmatige vijfhoek. Laten we zijde AB ervoor nemen en noem de afstand van P tot AB bijvoorbeeld d1.
De oppervlakte van driehoek ABP is nu gelijk aan 1/2.z.d1.
Verbind P vervolgens met hoekpunten B en C en noem de afstand van P tot zijde BC maar d2. Uiteraard is BC = AB = z
De oppervlakte van driehoek PBC is dan 1/2.z.d2.
Ga nu hiermee door totdat je rond bent.
Je vijfhoek is nu opgesplitst in 5 deeldriehoeken die tezamen een oppervlakte hebben die gelijk is aan de oppervlakte van de vijfhoek.
Zo kom je dus tot 1/2.z.(d1 + d2 + .....+ d5) = Opp. en omdat Opp. een vast getal is, is de optelsom van de vijf afstanden ook een vast getal (en gelijk aan 2.Opp/z

Om een R-uitdrukking te vinden voor die optelsom moet je de zijde z uitdrukken in R. Dat moet met wat goniometrie lukken. Probeer het eens.

MBL

MBL
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 14 februari 2007
 Re: Regelmatige vijfhoek 



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3