De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath} Printen

Kleinste reele

Bepaal het kleinste reele getal M zodanig dat voor alle reele getallen a, b en c de volgende ongelijkheid geldt:

|ab(a2 − b2) + bc(b2 − c2) + ca(c2 − a2)| M(a2 + b2 + c2)2

jop
2de graad ASO - zaterdag 20 januari 2007

Antwoord

Die M is gelijk aan het maximum K van de functie f(x,y,z)=|xy(x2-y2)+yz(y2-z2)+zx(z2-x2)| onder de nevenvoorwaarde x2+y2+z2=1.
Dat maximum bestaat want f is continu en de nevenvoorwaarde bepaalt een gesloten en begrensde verzameling. Bewijs dat K voldoet: ten eerste, als K=f(p,q,r) dan geldt f(p,q,r)=K(p2+q2+r2)2, omdat p2+q2+r2=1 (dit betekent dat geen getal kleiner dan K voldoet). Ten tweede, neem (a,b,c) willekeurig, schrijf t=(a2+b2+c2)1/2 en bekijk (x,y,z)=(a/t,b/t,c/t); dan x2+y2+z2=1, dus
f(x,y,z)K. Maar f(x,y,z)=f(a,b,c)/t4, dus f(a,b,c)Kt4=K(a2+b2+c2)2, dus K zelf voldoet. Conclusie K is de gevraagde M.
Je kunt K bepalen met behulp van de multiplicatorenmethode van Euler en Lagrange.

kphart
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 22 januari 2007



home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2024 WisFaq - versie 3