WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

De maat van een verzameling

Hallo wisfaq,

Laat A de deelverzameling zijn van [0,1] dat uit alle getallen bestaat die niet het getal 7 in hun decimale ontwikkeling hebben.Vind m(A).

Ik heb enkele vragen over de oplossing van dit probleem:
Oplossing
Neem een bepaald vast getal bijvoorbeeld in dit geval 7, en laat E_n={0.a_1a_2a_3...a_n : a_n=7, a_i ongelijk 7 voor in}.De verzameling E_n zijn disjunct en de maat van zo'n verzameling is gelijk aan
m(E_n)=(1/10)*[(9/10)^(n-1)]
vraag1.Waarom is m(E_n)=(1/10)*[(9/10)^(n-1)] ?

De vereniging van deze E_n, noem deze E, is de verz van reeele getallen die ergens in hun decimale ontwikkeling een 7 hebben en er geldt m(E)=1
vraag2.Waarom is m(E)=1?

Dus ieder deelverzameling A van [0,1] dat uit reeele getallen bestaat met in hun dec.ontw. geen 7 heeft maat 0, m(A)=0.
vraag3.Waarom is m(A)=0?

Groeten,
Viky
viky
Student hbo - dinsdag 5 december 2006

Antwoord

Dag Viky,

Vraag 1: kansrekening: je begint met a₁, dat kan een 0, 1,2,3,4,5,6,8 of 9 zijn. Dus alleen de getallen die met 0,7 beginnen laat je vallen. Ook a₁ mag geen zeven zijn, dus er blijft nu nog 81/100 van je startinterval [0,1] over. En zo verder, tot a_n-1. Zo blijft er (9/10)^n-1 van je interval over, als je dan eist dat a_n een zeven is, dan blijft daar nog een tiende van over.

Vraag 2: E is de unie van alle E_n. Bovendien hebben al die E_n een lege doorsnede (ze zijn disjunct). Dus de maat van E is de som van de maten van E_n, voor n gaande van 1 tot oneindig. Dit is een reeks die je makkelijk kan uitrekenen, want het is een meetkundige reeks. En ze komt uit op 1.

Vraag 3: per definitie is A het complement van E in het interval [0,1], dus AÈE=[0,1] en A$\cap$E=Æ.
Dat impliceert dat m(A)+m(E)=m([0,1]), dus m(A)+1=1 wegens het voorgaande, dus m(A)=0.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 5 december 2006