WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Meetbare functie

Hallo wisfaq,

Ik wilde volgende stelling bewijzen,

Stelling Als g een meetbare functie is, dan bestaat er een rij {g_n} van continue functies zodat g_n bijna overal naar g convergeert.

Ik denk dat de volgende gegevens nuttig kunnen zijn,

1.Theorie Stel g is meetbaar op R^d.Dan bestaat er een rij van simpele functies {f_n} (n=1 tot oneindig) dat voldoet aan,
|f_n(x)| =$<$ |f_n+1(x)| en lim f_n(x)=g(x) (n naar oneind.)

2.Continue functies zijn meetbaar.
3.Een simpele funtie f=som[a_k·X_(E_k)(x)] (k=1 t/m N)
is meetbaar d.e.s.d.a. E1,...,Ek meetbaar zijn.
4.Theorie van Egorov.
5.Theorie van Lusin.
6.Eigenschappen van meetbare functies.

Ik heb nu veel theorieën en gegevens maar het lukt me niet om de stelling te bewijzen.Ik denk dat ik bij de simpele fuincties moet beginnen.

Groeten,

Viky
viky
Student hbo - vrijdag 17 november 2006

Antwoord

Je zegt het er niet bij maar dit is hoogstwaarschijnlijk een vraag over Lebesgue-meetbare functie op een R^d.
Voor positieve meetbare functies is 1 inderdaad nuttig, verder heb je alleen de karakteriseringen van meetbaarheid nodig uit het antwoord op je vorige vraag.
1. Als A meetbaar is dan bestaat bij elke epsilon$>$0 een gesloten F en een open O zo dat F$\prod$A$\prod$O en m(O\F)$<$epsilon. Definieer een continue functie f door f(x)=d(x,G)/(d(x,F)+d(x,G)) (G is het complement van O en d is de metriek). Dan geldt dat f(x)=1 als x in F en f(x)=0 als x buiten O ligt. Dus de maat van {x:f(x) is ongelijk aan $\chi$_A(x)} is kleiner dan epsilon.
2. Laat s een stapfunctie zijn (een simpele functie dus), geschreven als som(a_i$\chi$_A(i), i=1..k). Kies voor elke i een functie f_i als boven, voor A(i) en epsilon/k, en schrijf f=som(a_if_i, i=1..k); dan is f continu en de maat van {x:f(x) is ongelijk aan s(x)} is kleiner dan epsilon.
3. Laat g nu meetbaar en positief zijn, en (s_n) een stijgende rij stapfuncties die puntsgewijs naar g convergeert. Kies voor elke n een continue functie f_n zo dat de maat van V_n={x:f_n(x) is ongelijk aan s_n(x)} kleiner dan 2ⁿ. Vervolgens nemen we W_m gelijk aan de vereniging van de V_n voor n$\geq$m. Dat is de maat van W_m kleiner dan 1/2^m-1; en voor x buiten W_m geldt dat f_n(x)=s_n(x) voor alle n$\geq$m, dus f_n(x) convergeert dan naar g(x). Conclusie: als x niet in de doorsnede van de W_m zit dan convergeert f_n(x) naar g(x), maar die doorsnede heeft maat nul.
4. Als g willekeurig is pas het bovenstaande toe op g⁺ en g^-.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 20 november 2006