WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Functieonderzoek: boogsinus

y = Bgsin[(1-x²)/(1+x²)]
te bepalen:
-domein
-nulpunten
-asymptoten

Bovenstaande vraag heb ik proberen op te lossen, kan je kijken waar ik juist en waar fout zit?

domein = R maar wat is het beeld dan? normaal van bgsinx is het beeld [-p/2 ; p/2] maar hier gaat hij links en rechts naar -p/2?

nulpunten:
-x²+1=0
x²=1
x=+-1

asymptoten:
Geen verticale want er is geen getal waarvoor de limiet van de functie naar oneindig gaat.

Verticale wel,
w=de limiet naar oneindig van Bgsin[(1-x²)/(1+x²)]/x gaat naar
^-p/2/_x=0
b=de limiet naar oneindig van Bgsin[(1-x²)/(1+x²)] - 0x = -p/2

Dus hebben we een niet verticale asymptoot van y=-p/2

Hoe kan je eigenlijk best de limiet naar oneindig van Bgsin[(1-x²)/(1+x²) berekenen ? M.a.w hoe kan je het makkelijkst zien dat die naar - pi/2 gaat
Yannic
3de graad ASO - woensdag 9 augustus 2006

Antwoord

Hallo Yannick,

- Het domein is inderdaad omdat het invullen van eender welke reële x in (1-x²)/(1+x²) altijd een waarde tussen -1 en 1 geeft, waar je dus de boogsinus van kan nemen.

- Het beeld: probeer eerst eens het beeld van (1-x²)/(1+x²) te bepalen (hiervoor kan je eventueel de afgeleide berekenen om de extrema en het stijgen/dalen-gedrag te bekomen, dat geeft je een goed idee van het beeld). Neem dan van dit interval de boogsinus. Beide zullen inderdaad halfopen intervallen zijn.

- Nulpunten zijn oke.

- Je komt inderdaad een horizontale asymptoot uit op y=-p/2. Let wel op: hier is het niet nodig omdat de functie symmetrisch is (f(x)=f(-x)), maar in het algemeen zal je wel de gevallen plus en min oneindig apart moeten behandelen...

- Die limiet berekenen: voor continue functies zoals de boogsinus geldt dat lim(bgsin(f(x)))=bgsin(lim(f(x))). Dus je kan eerst de limiet van (1-x²)/(1+x²) bepalen, en dan daarna hiervan de boogsinus nemen. Invullen van plus oneindig geeft -¥/+¥. Dat is een onbepaaldheid waarop je de regel van de l'Hôpital kan toepassen, dat geeft je de limiet van -2x/2x = -1. En vermits Bgsin(-1)=-p/2, heb je je resultaat. Idem voor min oneindig.

Groeten,
Christophe.

Christophe

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 9 augustus 2006