WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Een zeer hoge toren

In het laatste middelbaar hebben we eens in de wiskundeles een tof vraagstuk over limieten (denk ik) gehad.
Hier komt-ie:
Als je een doos van 1m op 1m maakt, en daarop een doos zet van 0.5m op 0.5m, en daarp nog een doos, met een ribbe half zo lang als de vorige, en ga zo maar door... Dan is die toren oneindig hoog. Maar je zou die toren kunnen schilderen, en de stelling was dat je er een eindig aantal liter verf voor nodig hebt. Hoeveel moet ik er gaan halen?
PolDeM
Student universiteit België - zaterdag 5 oktober 2002

Antwoord

Hoi,

Noem de ribbe van de n-de toren: z_n.
We hebben dan:
z₁=1
z_n=z_n-1/2
Dus: z_n=(1/2)^n-1

De hoogte van een toren met n blokjes is dan:
h_n=å(i=1..n:z_i)=(1-(1/2)ⁿ)/(1-1/2). Voor n®¥ wordt dit h_¥=2. In de limiet wordt de toren dus maximaal 2m hoog.

Het n-de blokje heeft een totale oppervlakte o_n=6.(z_n)². Dit is echter niet het oppervlak dat we moeten schilderen. Het grondvlak staat namelijk op het blokje eronder en dat schilderen we niet. Op het bovenvlak staat ook het grondvlak van het volgende blokje en dat schilderen we ook niet. Het te schilderen oppervlak van het n-de blokje is dus: s_n=5.(z_n)²-(z_n+1)²=5.(1/4)^n-1-(1/4)ⁿ=(5-1/4).(1/4)^n-1=19/4.(1/4)^n-1.
De te schilderen oppervlakte van een toren met n-blokjes is dus: S_n=å(i=1..n:s_i)=19/4.å(i=1..n:(1/4)^i-1)=19/4.[1-(1/4)ⁿ]/(1-1/4). Voor een oneindig veel blokjes krijgen we dus: S_¥=19/4.4/3=6.33m². Met een dekkingsgraad van d m²/l verf hebben we dus 6.33/d l verf nodig... Een 'eindig' getal in ieder geval

(Als je de grond- en bovenvlakken ook moet schilderen, dan kan je op dezelfde manier het te schilderen oppervlak berekenen. Dit reken je zelf wel eens na.)

Groetjes,
Johan

Tip: hier gebruikte ik de formule voor de partieelsommen van een meetkundige rij: 1+p+p²+p³+..+pⁿ=(1-pⁿ⁺¹)/(1-p).

andros

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 5 oktober 2002