WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Impliciete kromme

hallo

Opgave :
bepaal de bijzondere punten en hun aard van de volgende impliciete kromme : x³ + y³- 3xy = 0

de oplossing :
Raaklijn evenwijdig met X-as in (³√2,³√4)
Raaklijn evenwijdig met Y as in (³√4,³√2)
Het singulier punt (0,0) is een knooppunt met raaklijnen evenwijdig met X-as en Y-as

waar het fout loopt:
ik bereken dus eerst de partieel afgeleide naar x resp y
F'x=3x²-3y
F'y=3y²-3x
F''xx=6x
F''yy=6y
F''xy=-3
$\to$ volgens de methode zou je nu nulpunten moeten kunnen afleiden dus ik beschouw de tweede nieuwe vergelijking in een stelsel en ik krijg x=1 en y=1 of X=0 en y=0
Het enige punt waarvoor F'x,F'y en F=0 is, is (0,0)
dat is dus mijn singulier punt

Ik weet nu door D=(F''xy)² - F''xx · F''yy
= 9 - 6x·6y
= 9
dat het singulier punt een knooppunt is.

Maar yp'=-(F''xx+F''xy·y'p)/(F''xy+F''yy·y'p)
komt geen reeele oplossing uit wanneer ik dit alles invul met(0,0) resp (1,1). Hoe weet ik dan dat deze twee raaklijnen evenwijdig zijn met de X-as resp Y-as.
En hoe kom je aan die wortels??

Ik zit duidelijk vast

kunnen jullie me helpen?
domini
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 14 april 2006

Antwoord

dominique,
Zij F(x,y)=x³+y³-3xy=0.Raaklijn evenwijdig X-as:dy/dx=0$\Leftrightarrow$F'x=3x²-3y=0,dus
y=x².Nu is F(x,x²)=x³(x³-2)=0 voor x=0 en x=³√2.
Voor raaklijn evenwijdig Y-as:dx/dy=0,enz.
Hopelijk zo duidelijk.
Groetend,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
maandag 17 april 2006